Что понимается под экспоненциальной и логистической моделями роста численности популяции?

Еще в XVII в. заметили, что численность популяций растет по закону геометрической про­грессии, а уже в конце XVIII в. Томас Мальтус (1766—1834) выдвинул известную теорию о росте народонаселения в геомет­рической прогрессии. Эта закономерность роста выражается кри­вой, изображенной на рис. 2.

На современном математическом языке эта кривая (рис. 2, а) отражает экспоненциальный рост численности организмов и описывается уравнением

N_t = N_oe^rt,

N_t — численность популяции в момент времени t;

N_o — численность популяции в начальный момент вре­мени t₀;

е — основание натурального логарифма (2,7182);

r — показатель, характеризующий темп размножения осо­бей в данной популяции.

Экспоненциальный рост возможен только тогда, когда r имеет постоянное численное значение, так как скорость рос­та популяции пропорциональна самой численности: ∆N/∆t= rN, а r — const.

Рис. 2. Экспоненциальный рост гипотетической популяции однокле­точного организма, делящегося каждые 4 часа (%): а — арифметическая шкала; б— логарифмическая шкала

Если численность отложить в логарифмическом масшта­бе, то кривая приобретает вид прямой линии (рис. 2, б).

Таким образом, экспоненциальный рост численности по­пуляции — это рост численности ее особей в неизменяющихся условиях. Но такие условия невозможны в природе. Если бы это было не так, то, например, обычные бактерии дали бы такую массу органического вещества, которая могла бы покрыть весь земной шар слоем толщиной в 2 м за 2 ч.

Воздействие экологических факторов на скорость роста популяции может довести численность популяции до ста­бильной (r=0) либо ее уменьшить, т.е. экспоненциальный рост замедляется или останавливается полностью и J-образная кривая как бы останавливается и выполаживается, превращаясь в так называемую S-образную кривую (рис. 3.3). В природе так и происходит — дальнейшее раз­витие популяции идет по логистической модели, что и опи­сывается S-образной, или логистической кривой роста популяции.

В основе логистической модели (см. рис. 3) лежит про­стое допущение, что скорость роста популяции (r_а) линейно снижается по мере роста численности вплоть до нуля при некой численности К. Итак, при начальной численности N_o (близкой к нулю) скорость роста имеет максимальное значе­ние — r_max, а при N = К r_а = 0. В результате решения уравне­ния логистической кривой получаем зависимость

Nt = K/1-[(K – N₀)/ N₀] e^-rt;

где N_t — численность популяции в момент времени t; е — основание натурального логарифма.

Рис. 3. Логистическая модель роста популяции: а — кривая роста численности (N); б — зависимость удельной скорости роста (r) от численности (N); в — зависимость рождаемости (b) и смертности (d) от численности; К — предельная численность

Величину К называют еще биологической емкостью сре­ды — степенью способности природного или природно-антропогенного окружения обеспечивать нормальную жизне­деятельность (дыхание, питание, размножение, отдых и т.п.) определенному числу организмов и их сообществ без заметного нарушения самого окружения (Реймерс, 1990).