Методы измерения параметров тренда

Изучение тренда включает в себя два основных этапа:

1) Ряд динамики проверяется на наличие тренда.

2) Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям [7].

- Метод средних.

- Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура).

- Критерий Кокса и Стюарта.

- Метод серий.

Непосредственное выделение трендов может быть произведено тремя методами [6]:

1. Укрупнение интервалов.

Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Скользящая средняя.

В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

3. Аналитическое выравнивание.

Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;

e_t – случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса [1].

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости [9]:

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют [6].

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.) [7].

Оценка параметров (a₀, a₁, a₂,...) осуществляется следующими методами [8]:
1) методом избранных точек,
2) методом наименьших расстояний,
3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

Для линейной зависимости (f(t)=a₀+a₁t) параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F_факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением [8]:

где k – число параметров функции, описывающей тенденцию;
n – число уровней ряда;

F_факт сравнивается с F_теор при v₁ = (k-1), v₂ = (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если F_факт > F_теор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции [7].

5. Модели сезонных колебаний

Сезонными называют периодические колебания, возникающие под влиянием смены времени года. Их роль очень велика в агропромышленном комплексе, торговле, заболеваемости, строительстве, деятельности рекреационных учреждений, на транспорте. Сезонные колебания строго цикличны — повторяются через каждый год, хотя сама длительность времен года имеет колебания. Для изучения сезонных колебаний необходимо иметь уровни за каждый квартал (месяц, декады) [3].

Не всякие различия в месячных или квартальных уровнях являются сезонными колебаниями, а только регулярно повторяющиеся. Если же различия месячных уровней или любых внутригодичных уровней в один год распределены совершенно иначе, чем в другой год, то это не сезонные, а случайные колебания, т.е. колебания, вызванные причинами, не связанными со сменой времен года. Например, такими могут быть колебания курсов акций, обменных курсов валют.

При статистическом изучении в рядах внутригодовой динамики сезонных колебаний, решаются следующие две взаимосвязанные задачи [4]:

1. выявление специфики развития изучаемого явления во внутригодовой динамике;

2. измерение сезонных колебаний изучаемого явления с построением модели сезонной волны.

На специфику изменения уровней рядов внутригодовой динамики могут оказывать влияние как факторы, образующие их составные компоненты (тренд, периодические колебания, случайные отклонения), так и внешние причины, обусловленные характером сбора и обработки исходной информации [1].

1) Индекс сезонности.

В статистике существует ряд методов изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой заключается в построении специальных показателей, которые называются индексами сезонности i_S. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. В общем виде они определяются отношением исходных (эмпирических) уровней ряда динамики (у_i) к теоретическим (расчетным) уровням (у_t), выступающим в качестве базы сравнения:

Именно в результате того, что в этой формуле измерение сезонных колебаний производится на базе соответствующих теоретических уровней тренда (у_t), в исчисляемых при этом индивидуальных индексах сезонности, влияние основной тенденции развития устраняется.

Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года, индексы сезонности вычисляют по данным за несколько лет (не менее трех), распределенным по месяцам.

2) Средние индексы сезонности

Поскольку на сезонные колебания могут накладываться случайные отклонения, для их устранения производится усреднение индивидуальных индексов одноименных внутригодовых периодов анализируемого ряда динамики. Поэтому для каждого периода годового цикла определяются обобщенные показатели в виде средних индексов сезонности:

Вычисленные на основе этой формулы средние индексы сезонности свободны от влияния основной тенденции развития и случайных отклонений.

В зависимости от характера тренда, формула принимает следующие формы [3]:

1) Для рядов внутригодовой динамики с ярко выраженной основной тенденцией развития (т.н. нестационарные ряды динамики). Выступающие при этом, в качестве переменной базы сравнения, теоретические уровни (у_t) представляют, своего рода, “среднюю ось кривой”, так как их расчет основан на положениях метода наименьших квадратов. Поэтому измерение сезонных колебаний на базе переменных уровней тренда называется способом переменной средней.

2) Для рядов внутригодовой динамики, в которых изменяющийся тренд отсутствует или он незначителен (т. н. стационарные ряды динамики). В данной формуле базой сравнения является общий для анализируемого ряда динамики средний уровень. Поскольку для всех эмпирических уровней анализируемого ряда динамики этот общий средний уровень является постоянной величиной, то применение формулы называется способом постоянной средней. Коэффициент сезонности или индекс сезонности, в данном случае представляет собой отношение средней из фактических уровней одноименных месяцев к средней из выровненных (теоретических, расчетных) данных по тем же месяцам, выступающим в качестве базы сравнения: