Уравнения Блоха

Если поместить парамагнитное вещество в постоянное магнитное поле B _а = B ₀ e _z, то в состоянии равновесия индуцируется намагниченность, параллельная приложенному магнитному полю

M_z = M ₀ = c₀ B ₀,

где c₀ – статическая магнитная восприимчивость.

Выведенный из состояния равновесия вектор намагниченности начинает вращаться вокруг продольной оси z, причем этот процесс в принятой модели будет продолжаться бесконечно.

Однако в реальных ситуациях естественно ожидать, что существует механизм возврата вектора намагниченности с течением времени в исходное состояние равновесия параллельно полю B ₀ e _z. Такой механизм связан, главным образом, с взаимодействием магнитных моментов ядер с решеткой и называется спин-решеточной или продольной релаксацией. При этом предполагается, что продольная компонента M_z приближается к равновесному значению со скоростью, пропорциональной отклонению M_z от равновесного значения M ₀ (рис. 1.2):

. (1.9)

Рис. 1.2 Намагничивание образца в продольном магнитном поле

Введенный параметр T ₁ называют временем спин-решеточной или продольной релаксации.

Если ненамагниченное вещество, у которого M_x=M_y=M_z= 0, поместить в момент времени t =0 в магнитное поле B ₀ e _z, то, проинтегрировав (1.9), получим решение , в соответствии с которым идет процесс установления стационарного состояния.

При установлении стационарного состояния должны уменьшаться поперечные компоненты M_x и M_y вектора намагниченности, выведенного из состояния равновесия. Этот процесс связан с взаимодействием магнитных моментов ядер между собой и называется спин-спиновой или поперечной релаксацией. Затухание поперечных компонент описывается уравнениями

; (1.10)

, (1.11)

где T ₂ – параметр, называемый временем спин-спиновой или поперечной релаксации. С течением времени компоненты M_x и M_y вектора намагниченности, прецессирующего вокруг оси x, затухают в принятой модели по экспоненциальному закону .

Модифицированные уравнения движения вектора намагниченности M во внешнем магнитном поле B _а c учетом спин-спинового и спин-решеточного взаимодействия в форме (1.9)-(1.11) называются уравнениями Блоха:

; ; (1.12)

.

Времена продольной и поперечной релаксации связаны соотношением и зависят от вида ядер и от условий, в которых они находятся.

Необходимыми условиями существования эха, как это уже упоминалось, являются нелинейность в процессе взаимодействия поля с веществом и неоднородность параметров среды. Примером первого условия для спинового эха является нелинейная зависимость между вектором намагниченности и возбуждающим магнитным полем. Второе условие соблюдается, если индукция поляризующего магнитного поля неоднородна в объеме образца, помещенного в это поле (ранее рассматривалось однородное поляризующее магнитное поле ). В силу неоднородности магнитного поля резонансная частота магнитных моментов ядер в отличие от однородного случая (1.4) будет также неоднородной .

Введем функцию , описывающую плотность вероятности распределения магнитных моментов по частоте и называемую функцией формы неоднородно уширенной линии поглощения. Эта функция удовлетворяет условию нормировки

. Рассмотрим группу магнитных моментов, частота которых лежит в бесконечно узкой полосе частот вокруг частоты w, и назовем ее изохроматой. Статический магнитный момент изохроматы будет равен

. (1.13)

Статическая намагниченность всех изохроматических групп находится интегрированием (5.13) по частоте:

. (1.14)

Среднее значение частоты магнитного резонанса обозначим , где - среднее значение в объеме образца, а ширину неоднородно уширенной линии поглощения ЯМР обозначим (рис. 1.3).

Рис.1.3 Неоднородно уширенная линия поглощения

Чтобы вывести магнитные моменты из состояния термодинамического равновесия, наряду с постоянным поляризующим магнитным полем , задающим направление продольной оси, к образцу прикладывается переменное магнитное поле с индукцией и частотой w₀ в поперечной плоскости. Для эффективного взаимодействия с вектором намагниченности это поле должно иметь круговую поляризацию, совпадающую с направлением прецессии вектора намагниченности.

Обычно же возбуждение спиновой системы осуществляется линейно-поляризованным полем

, (1.15)

где - функции, описывающие законы изменения амплитуды и фазы колебания.

Это линейно-поляризованное колебание можно представить в виде суммы двух колебаний с круговой поляризацией, вращающихся в разные стороны. Можно показать, что вблизи резонанса составляющей поля, вращающейся в противоположную по отношению к направлению прецессии сторону, можно пренебречь. Тогда можно считать, что в поперечной плоскости действует поле с круговой поляризацией

, (1.16)

с амплитудой в два раза меньшей, чем в (1.15) (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Представление линейной поляризации в виде двух круговых

В дальнейшем удобно перейти в новую систему координат с осями , вращающуюся вокруг оси с частотой в направлении вращения поля (1.16) (рис. 1.5).

Рис. 1.5 Вращающаяся система координат

Связь производных в неподвижной и вращающейся системах координат имеет вид

, (1.17)

где ()_вр – производная во вращающейся системе координат, а

w ₀ =- w₀ e _z. (1.18)

С учетом (5.8) можно переписать (5.17) в виде

, (1.19)

где

. (1.20)

На основании (1.18)-(1.20) можно представить уравнения Блоха (1.12) во вращающейся системе координат:

;

; ,

где .

Введем комплексные поперечные компоненты:

; ;

; .

Для введенных компонент уравнения Блоха во вращающейся системе координат примут вид

;

; (1.21)

.

Система (1.21) в общем случае объединяет линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и не имеет точного аналитического решения.

Решение уравнений Блоха (1.21) для свободных интервалов времени, когда при заданных начальных условиях M (t ₀, Ω), может быть представлено в матричной форме

(1.22) ,

.

Из (1.22) следует, что поперечные компоненты совершают круговое движение вокруг продольной оси и одновременно уменьшаются по амплитуде по экспоненциальному закону

.

Продольная компонента вектора намагниченности стремится к равновесному значению (рис. 1.6).

.

Рис. 1.6 Эволюция вектора намагниченности

Вопросы для самопроверки

1. Что такое магнитный резонанс?

2. Чем определяется частота магнитного резонанса?

3. Запишите условие нормировки для функции, описывающей неоднородно уширенную линию поглощения.

4. Как выглядят уравнения Блоха в неподвижной системе координат?

5. С какой целью в уравнение движения вектора намагниченности вводят релаксационные члены?

6. Как выглядят уравнения Блоха во вращающейся системе координат? Для чего вводится вращающаяся система координат?

7. Что такое переходная матрица системы? Как выглядит переходная матрица для свободных интервалов?

8. Чему равен элемент b ₂₂ матрицы B, описывающей решение уравнений Блоха на интервалах. Свободных от импульсов возбуждения?