Возбуждение спиновой системы дельтаобразными импульсами

Пусть импульсы возбуждения представляют собой прямоугольные радиоимпульсы с амплитудами круговой поляризации B ₁ и B ₂ и начальными фазами j₁= j₂ = 0. Пусть также их длительности t₁ и t₂ удовлетворяют условиям

; (2.1)

. (2.2)

Импульсы, удовлетворяющие условиям (2.1) и (2.2), будем в дальнейшем называть дельтаобразными, в том смысле, что они имеют свойства, схожие со свойствами дельта-функции Дирака: они являются достаточно короткими импульсами, спектр которых примерно постоянен в полосе частот, обратно пропорциональной длительности импульса. Условие (2.1) позволяет не учитывать процессы расфазировки магнитных моментов изохромат во время действия импульсов возбуждения.

Если к тому же выполняются условия , то можно не учитывать процессы релаксации.

В дальнейшем удобно рассматривать процесс формирования первичного эха во вращающейся с частотой w₀ системе координат. В этой системе поле круговой поляризации, соответствующее импульсам возбуждения, будет неподвижным, ориентированным вдоль оси .

При решении уравнений Блоха (1.21) для случая воздействия дельтаобразных импульсов с частотой заполнения следует воспользоваться условиями (2.1) и (2.2), тогда уравнения Блоха упрощаются:

;

; (2.3)

Продифференцируем третье уравнение системы и подставим правые части первого и второго уравнений системы

Общее решение этого уравнения имеет вид

Для определения произвольных констант С ₁ и С ₂ воспользуемся заданными начальными условиями:

. Для t= 0 .

С другой стороны из третьего уравнения системы следует , откуда .

Далее можно определить поперечную компоненту путем прямого интегрирования первого уравнения системы

Определим произвольную константу С исходя из начальных условий:

, откуда

С учетом найденных констант получим:

В итоге после преобразований решение имеет вид:

Решение в момент окончания импульса , можно представить в виде произведения переходной матрицы A на вектор начальных условий

, (2.4)

, (2.5)

2.2. Двухимпульсный режим возбуждения

Прежде чем перейти к математическому описанию процесса формирования эха, опишем этот процесс качественно. При наблюдении сигналов магнитного резонанса парамагнитный образец помещают в неоднородное продольное магнитное поле , которое создает в образце намагниченность , ориентированную вдоль оси z. Эта намагниченность в соответствии с (1.13) и (1.14) является суммарной намагниченностью изохромат, характеризующихся различными резонансными частотами . Пусть, например, имеется три изохроматы с частотами и магнитными моментами M ₀/3, так что результирующая намагниченность равна M ₀.

На рис. 2.2 представлена временная диаграмма огибающих импульсов возбуждения и первичного эха. В моменты t= 0 и t=t ₂ на образец воздействуют двумя линейно-поляризованными импульсами магнитного поля с частотой w₀, которые создаются с помощью катушки индуктивности. Ее ось совпадает с осью x неподвижной системы координат. Как уже упоминалось, в резонансном взаимодействии участвует одна из двух составляющих компонент круговой поляризации магнитного поля, на которые раскладывается линейно-поляризованное поле.

; (2.6)

. (2.7)

Импульсы, удовлетворяющие этим условиям мы ранее назвали дельтаобразными, в том смысле, что они имеют свойства, схожие со свойствами дельта-функции Дирака: они являются достаточно короткими импульсами, спектр которых примерно постоянен в полосе частот, обратно пропорциональной длительности импульса. Условие (2.6) позволяет не учитывать процессы расфазировки магнитных моментов изохромат во время действия импульсов возбуждения.

Если к тому же выполняются условия , то можно не учитывать процессы релаксации.

На рис. 2.3, а показано положение магнитных моментов трех изохромат, соответствующее положению термодинамического равновесия перед действием первого импульса возбуждения в момент t= 0. Вектор магнитной индукции B ₁ направлен вдоль оси и создает в соответствии с (2.3) вращающий момент, поворачивающий магнитные моменты изохромат вокруг оси с частотой g B ₁. Если выбрать параметры первого импульса возбуждения такими, чтобы угол поворота был равен

, (2.8)

то все магнитные моменты будут повернуты на угол p/2 и в поперечной плоскости в момент окончания импульса сформируется намагниченность , ориентированная вдоль оси (рис. 2.3, б).

По окончании первого импульса начинается прецессия трех магнитных моментов с частотами вокруг поляризующего поля. Во вращающейся системе координат первый магнитный момент будет неподвижен и ориентирован вдоль оси , а два других момента будут вращаться вокруг оси в противоположных направлениях (рис. 2.3, в) с частотой W₁. При этом фазы второго и третьего магнитных моментов относительно оси будут линейно нарастать со временем: ±W₁ t.

По окончании первого импульса возбуждения прецессирующие магнитные моменты создадут в катушке ЭДС, которая спадает по мере расфазировки векторов. Затухающий сигнал свободной индукции (ССИ) показан на рис. 2.2.

В момент t ₂ включают второй импульс возбуждения, также ориентированный во вращающейся системе координат вдоль оси . К этому времени фазы магнитных моментов второй и третьей изохромат будут равны ±W₁ t ₂. Вновь возникает вращающий момент, который поворачивает три вектора, соответствующих магнитным моментам изохромат, вокруг оси с частотой g B ₂. Если параметры второго импульса таковы, что

, (2.9)

то все три вектора повернутся вокруг оси на угол p и вновь окажутся в поперечной плоскости в положении, представленном на рис. 2.2, г.

По окончании второго импульса возбуждения начинается процесс сближения векторов. Поскольку интервал сближения равен интервалу расхождения, то в момент все три вектора сойдутся (рис. 2.3, д) и сформируют максимальное значение вектора намагниченности в поперечной плоскости, равное M ₀. Эта поперечная намагниченность создаст в катушке ЭДС, соответствующую первичному или двухимпульсному эху.

Рис. 2.2. Двухимпульсный режим возбуждения первичного эха

Рис. 2.3. Векторные диаграммы формирования первичного эха

В данной простейшей векторной модели были рассмотрены три изохроматические группы магнитных моментов, однако реально в процессе формирования эха участвует очень большое количество изохромат. Их магнитные моменты также испытывают под действием возбуждающих импульсов повороты на углы p/2 и p. После первого импульса возбуждения происходит их расфазирование, а после второго идет процесс их фазировки. Этот процесс заканчивается в момент времени , когда фазы всех магнитных моментов изохромат совпадут.

Условия (2.8) и (2.9), как будет показано далее, не являются обязательными, однако при их выполнении амплитуда эха будет максимальной. Наряду с ССИ₁ по окончании второго импульса возбуждения формируется также ССИ₂ (рис. 2.2).

Перейдем далее к аналитическому рассмотрению процесса формирования двухимпульсного эха.

Анализ эхо-сигналов основан на решении уравнений Блоха на интервалах, на которых действуют импульсы возбуждения, и на свободных от них интервалах. В результате решение для интервала, на котором возникает эхо, может быть определено путем последовательного решения системы дифференциальных уравнений. При этом решение в момент окончания предыдущего интервала определяет начальные условия для последующего интервала. Решение удобно представить в матричном виде, используя аппарат переходных матриц состояния.

Для определения состояния вектора по окончании второго импульса возбуждения (рис. 2.2) необходимо последовательно использовать решение (2.5) для интервалов, на которых действуют дельтаобразные импульсы, и (1.22) для свободных интервалов. При этом решение для предыдущего интервала времени является начальным условием для последующего:

. (2.10)

Здесь цифры в скобках указывают порядковый номер импульса возбуждения и следующего за ним свободного интервала. Начальные условия для первого импульса соответствуют термодинамическому равновесию:

. (2.11)

Умножив переходную матрицу на вектор начальных условий (2.11), получают состояние вектора M после первого импульса возбуждения. Это состояние является начальным условием в (2.10) для свободного интервала после первого импульса возбуждения. Записанное в квадратных скобках в (6.10) выражение является начальным условием для второго импульса возбуждения и так далее. При этом в алгоритме (2.10) используется формальная запись переходных матриц A с элементами и явный вид матриц B и B _н (1.22).

Сигнал эха индуцируется поперечной компонентой вектора намагниченности, поэтому в (2.10) интерес представляет состояние поперечной компоненты вектора намагниченности вектора . В двухимпульсном режиме возбуждения содержит три составляющие

представленные в табл. 2.1. Эти составляющие соответствуют двум ССИ, формируемым после первого и второго импульсов возбуждения, и сигналу двухимпульсного эха 1-2, возникающему в момент .