Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса

Моменты инерции данного тела относи­тельно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведен­ной в теле, найти момент инерции от­носительно любой другой оси, ей па­раллельной.

Рис.35

Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx'y'z', а через лю­бую точку О на оси Сх' - оси Oxyz, такие, что Оy ½½ Сy', Oz ½½ Cz' (рис. 35). Расстояние между осями Cz' и Оz обозначим через d. Тогда

но, как видно из рисунка, для любой точки тела или , а . Подставляя эти значения , в выражение для и вынося общие множители d ² и 2d за скобки, получим

В правой части равенства первая сумма равна I_cz', а вторая - массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании фор­мул для координат центра масс .Так как в на­шем случае точка С является началом координат, то x _C = 0 и, сле­довательно, . Окончательно получаем:

Формула выражает следующую теорему Гюйгенса:

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.