Применив закон сохранения импульса, можем написать

, или ,
откуда

(4)
где — момент инерции системы стержень — пуля.

Если учесть, что в (4) , а также что , то
после несложных преобразований получим

(5)

Подставив числовые значения величин в (5), найдем

По (3) получим

Следовательно, =9°20'.

Задачи

Момент инерции

3.1. Определить момент инерции J материальной точки массой m =0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r =20 см.

3.2. Два маленьких шарика массой m =10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l =20 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

Рис. 3.8

3.3. Два шара массами m и 2 m (m =10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l =40 см так, как это указано на рис. 3.7, а, б. Определить моменты инерции J системы относитель­но оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.

Рис. 3.7

3.4. Три маленьких шарика массой m =10 г каждый располо­жены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а= =20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треу­гольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) ле­жащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описан­ной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь. 3.5.Определить моменты инерции трехатомных мо-­ лекул типа АВ2 относительно осей х, у, z (рис. 3.8), проходящих через центр инерции С молекулы (ось z перпендикулярна плоско-­ сти ху). Межъядерное расстояние А В обозначено d, валентный угол а. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) H2O (d = =0,097 нм, = 104°30'); 2) SO2(d =0,145нм, =124°). 3.6.Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l =30 см и массой m =100 г относительно оси, перпендику-

лярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.

3.7. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l =60 см и массой m =100 г относительно оси, перпендику­лярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на а =20 см от одного из его концов.

3.8. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольни­ка со сторонами а =12 см и b =16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с ли­ней ной плотностью τ=0,1 кг/м.

3.9. Два однородных тонких стержня: АВ длиной l ₁=40 см • и массой m ₁=900 г и CD длиной l ₂=40 см и массой l ₂=400 г скреп­лены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси 00', проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD.

Рис. 3.9

Рис. 3.10

3.10. Решить предыдущую задачу для случая, когда ось 00' проходит через точку А перпендикулярно плоскости чертежа.

3.11. Определить момент инерции J проволочного равносто­роннего треугольника со стороной а =10 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10, а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3.10, б). Масса т треугольника равна 12 г и равномерно рас­пределена по длине проволоки.

3.12. На концах тонкого однородного стержня длиной l и мас­сой 3 m прикреплены маленькие шарики массами m и 2 m. Опреде­лить момент инерции J такой системы относительно оси, перпенди­кулярной стер и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев а, б, в, г, д, изобра­женных на рис. 3.11. При расчетах принять l =1 м, m =0,1 кг. Шарики рассматривать как материальные точки.

3.13. Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R =20 см и массой m =100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

3.14. Определить момент инерции J кольца массой т =50 г и радиусом R =10 см относительно оси, касательной к кольцу.

Рис. 3.11

Рис. 3.12

3.15. Диаметр диска d =20 см, масса т =800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через се­редину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

3.16. В однородном диске массой т =1 кг и радиусом r=30 см вырезано круглое отверстие диаметром d=20 см, центр которого находится на расстоянии l =15 см от оси диска (рис. 3.12). Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходя­щей перпендикулярно плоскости диска через его центр.

3.17. Найти момент инерции J плоской однородной прямоуголь­ной пластины массой т =800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина а другой стороны равна 40 см.

3.18. Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами а =10 см и b =20 см относительно оси, проходящей

через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равно­мерно распределена по ее площади с по­верхностной плотностью σ=1,2 кг/м².

Основное уравнение динамики вращательного движения

3.19. Тонкий однородный стержень дли­ной l =1 м может свободно вращаться во­круг горизонтальной оси, проходящей че­рез точку О на стержне (рис. 3.13). Стер­жень отклонили от вертикали на угол а и отпустили. Определить для начального момента времени угловое в и тангенциальное а_t ускорения точки В на стержне. Вычис­ления произвести для следующих случаев:

Рис. 3.13

3.20. Однородный диск радиусом R = 10 см может свободно вра­щаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости

диска и проходящей через точку О на нем (рис. 3.14). Диск откло­нили на угол а и отпустили. Определить для начального момента времени угловое ε и тангенциальное а _тускорения точки В, находя­щейся на диске. Вычисления выполнить для следующих случаев:

3.21. Тонкий однородный стержень длиной l =50 см и массой m =400 г вращается с угловым ускорением ε=3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Опре­делить вращающий момент М.

3.22. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R=5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой т =0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь s=l,8 м за время t =3 с, Определить момент инерции J махо­вика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

3.23. Вал массой m =100 кг и радиусом R=5 см вращался с ча­стотой n =8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F =40 H, под действием которой вал остановился через t =10 с. Определить коэффициент трения f.

Рис. 3.14

Рис. 3.15

3.24. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр: 1) сплошной; 2) полый тонкостенный.

3.25. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m ₁=100 г и т ₂=110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса т блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

3:26. Два тела массами т ₁ =0,25 кг и m ₂=0,15 кг связаны тон, кой нитью, переброшенной через блок (рис. 3.15). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого сколь­зит тело массой т ₁. С каким ускорением а движутся тела и каковы силы T₁ и Т₂ натяжения нити по обе. стороны от блока? Коэффи­циент трения f тела о поверхность стола равен 0,2. Масса т блока равна 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по

ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока прене­бречь.

3.27. Через неподвижный блок массой т =0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁=0,3 кг и m₂=0,5 кг. Определить силы натяжения T ₁ и T ₂ шнура по обе сто­роны блока во время движения грузов, если масса блока равномер­но распределена по ободу.

3.28. Шар массой m =10 кг и радиусом R =20 см вращается во­
круг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара
имеет вид , где В=4 рад/с², С= —1 рад/с³. Найти
закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить
момент сил М в момент времени t=2 с.