Основные формулы
• Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения
,
где — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).
• Момент инерции относительно оси вращения:
а) материальной точки
J=mr2,
где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения;
б) дискретного твердого тела
где — масса i-го элемента тела; r i — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;
в) сплошного твердого тела
Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то
dm= dV и
где V — объем тела.
• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
Тело | Ось, относительно которой определяется момент инерции | Формула момента инерции |
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой т и радиусом R | Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания Проходит через центр шара | 1/12 ml 2 1/3 ml 2 mR 2 1/2 mR 2 2/5 mR 2 |
• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси
|
|
J=J 0 +ma2,
где J 0 — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.
• Момент импульса вращающегося тела относительно оси
L=J .
• Закон сохранения момента импульса
где L i — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел
где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.
Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,
где — начальный и конечный моменты инерции; —• начальная и конечная угловые скорости тела.
• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
M d t =d(J ), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;
J — момент инерции тела; — угловая скорость; J — момент импульса.
Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде
М t = J .
В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид
M = J , где — угловое ускорение.
|
|
• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,
A=Mj,
где j — угол поворота тела.
• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,
N=M .
• Кинетическая энергия вращающегося тела
T=1/2J .
• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,
T==1/ 2mv2 +l/2 J ,
где l/2mv2 — кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; l/2 J ,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.
• Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением
.
• Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.
Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:
Поступательное движение Вращательное движение
Основной закон динамики
F t=mv2—mv1; M t=J —J ;
F = та М =.J
Закон сохранения
импульса момента импульса
Работа и мощность
A=Fs; А=М ,
N=Fv N=M
Кинетическая энергия
Т =1/2 mv2 T=1/2J
Примеры решения задач
Пример 1. Вычислить момент инерции Jz молекулы NО2 относительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол =140°.
Решение. Молекулу NO2 можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой
m =2 m 1+ m 2, (1)
где m 1 — масса атома кислорода; m 2— масса атома азота.
Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 3.1 (начало координат совместим с центром
масс С молекулы, ось z направим перпендикулярно плоскости чертежа «к нам».)
Для определения Jz воспользуемся теоремой Штейнера:
J=J c+ m a2.
Для данного случая эта теорема запишется в виде Jz' = Jz + m a2, где Jz' — момент инерции относительно оси z', параллельной оси z и проходящей через атом азота (точка О на рис. 3.1). Отсюда искомый момент инерции
Jz = Jz' - m a2 (2)
Момент инерции Jz' находим как сумму моментов инерции двух материальных точек (атомов кислорода):
Jz' = 2m1 d2 (3)
Расстояние а между осями z и z ' равно координате xс центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле (см. § 2, с. 20) В данном случае
а= х с= (2 m 1 x 1+ m 2 x 2)/(2 m 1+ m 2), или, учитывая, что x 1= d cos ( /2) и х 2 =0,
(4)
Подставив в формулу (2) значения Jz', т, а соответственно из выражений (3), (1), (4), получим
или после преобразований
(5)
Найдем в табл. 23 относительные атомные массы кислорода (A O=16) и азота (А N==14) и запишем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограммах (1 а.е.м. =1,66 •10-27 кг, см. табл. 9):
m 1= 16 1,66 10-27 кг=2,66 10-26 кг;
m 2 = 14 1,66 10-27 кг = 2,32 10-26 кг.
Значения m 1, т 1, d и подставим * в формулу (5) и произведем вычисления:
Jz =6,80 10-46 кг.м2.
Пример 2. Физический маятник представляет собой стержень длиной l =1 м и массой m 1=l кг с прикрепленным к одному из его
*Для вычисления выражения, стоящего в скобках, вместо масс атомов можно подставить их относительные атомные массы, так как здесь массы входят в виде отношения.
концов диском массой т 2 =0,5 m 1. Определить момент инерции J zтакого маятника относительно оси Оz, проходящей через точку О на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 3.2).
Решение. Общий момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня Jz1 и диска Jz2.
Jz = Jz1 + Jz2 (1)
Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня Jz1 и диска Jz2 относительно осей, проходящих через их центры масс, даны в табл. на с. 41. Чтобы определить моменты инерции Jz1 и Jz2, надо воспользоваться теоремой Штейнера:
J=Jc+ma2. (2)
Выразим момент инерции стержня согласно формуле (2):
Jz1=l/12m1l2+m1a12.
Расстояние a 1 между осью Оz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс C1 стержня, как следует из рис. 3.2, равно 1/2 l— l/3 l= l/6 l. С учетом этого запишем
|
|
Jz 1 = l/12 m 1 l 2+ m 1 (l/6 l)2=1/9 m 1 l 2=0,111 m 1 l 2.
Момент инерции диска в соответствии с формулой (2) равен рис. 3.2
Jz 2=l/2 m 2 R 2+ m 2 a 22.
где R — радиус диска; R= 1/4 l. Расстояние а 2 между осью Оz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 3.2) 2/3 l— l/4 l= l1/12 l. С учетом этого запишем
Jz 2=l/2 m 2 (1/4 l)2+ m 2(l1/12 l)2= 0,0312 m 1 l 2 + 0,840 m 1 l 2= 0,871 m 1 l 2.
Подставив полученные выражения Jz1 и Jz2 в формулу (1), найдем
Jz= 0,111 m 1 l 2+0,871 m 1 l 2=)0,111 m 1+0,871 m 1) l 2,
или, учитывая, что т 2 =0,5 m 1,
Jz= 0,547 m 1 l 2.
Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического маятника относительно оси Оz:
Jz =0,547.1.1 кг м2=0,547 кг м2.
Пример 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой m 1 = 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m 2=2 кг (рис. 3.3). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
Решение. Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности,
и связано с угловым ускорением s вала соотношением
а= , (1)
где r — радиус вала.
Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:
=M/ J, (2)
где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен
J= 1/2 m 1 r 2.
Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М=Тr.
Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести m 2 g, направленная вниз, и сила натяжения Т шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона, m 2g- T=m2a, откуда T=m2(g-а). Таким образом, вращающий момент M=m 2 (g—а)r.
Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала:
Для определения линейного ускорения гири подставим это
рис. 3.3 выражение в формулу (1). Получим
|
|
,
откуда
Пример 4. Через блок в виде диска, имеющий массу m =80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m 1=100 г и m 2=200 г (рис. 3.4). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.
Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх.
Так как вектор ускорения а груза m 1 направлен вверх, то T 1>m1g. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение и, по второму закону Ньютона, равна T 1 — т 1 g=т 1 а, откуда
T 1 =m 1 g+m 1 a. (1)
Рис. 3.4 |
Вектор ускорения а груза т 2 направлен вниз; следовательно, T 2< m 2 g. Запишем формулу второго закона для этого груза:
m 2g — T 2 =m2a, откуда
T 2 =m2g- m2а. (2)
Согласно основному закону динамики вращательного движения, вращающий момент М, приложенный к диску,равен произведению момента инерции J диска на его угловое ускорение :
M=J . (3)
Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы и , приложенные к ободу диска, равны соответственно силам T 1 и Т 2, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке; следовательно, > . Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. M=( - ) r. Момент инерции диска J=mr 2 /l, угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением S =a/r. Подставив в формулу (3) выражения М, J и , получим
( - ) r = .
откуда
- =(т/2)а.
Так как =T 1 и = Т 2, то можно заменить силы и выражениями по формулам (1) и (2), тогда
m 2 g—m 2 a—m 1 g—m 1 =(m/2)a, или
(m 2 —m 1 ) g=(m 2+ m 1+ m /2) a
откуда
(4)
Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому значения масс m 1, m 2 и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки
получим
Пример 5. Маховик в виде диска массой m =50 кг и радиусом г=20 см был раскручен до частоты вращения n1=480 мин"1 и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для
двух случаев: 1) маховик остановился через t =50 с; 2) маховик до полной остановки сделал N=200 оборотов.
Решение. 1.По второму закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время действия этого момента:
M t=J — J ,
где J — момент инерции маховика; и — начальная и конечная угловые скорости. Так как =0 и t = t, то Mt=—J , откуда
M= —J /t. (1)
Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен J=1/2mr2. Подставив это выражение в формулу (1), найдем
M=—mr2 /(2t). (2)
Выразив угловую скорость через частоту вращения n 1 и произведя вычисления по формуле (2), найдем
М= —1 Н м.
2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных маховиком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому применим формулу, выражающую связь работы с изменением кинетической энергии:
или, учтя, что ,
. (3)
Работа при вращательном движении определяется по формуле A=Mj. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим
M = —mr2 /4.
Отсюда момент силы трения
М= —mr2 /4 . (4)
Угол поворота j=2лN=2 3,14 200 рад=1256 рад. Произведя вычисления по формуле (4), получим
М= —1 Н м.
Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.
Пример 6. Платформа в виде диска радиусом R= 1,5 м и массой m 1 = 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой т 2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Решение. По закону сохранения момента импульса,
(1)
где J 1 — момент инерции платформы; J 2 — момент инерции человека, стоящего в центре платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J2' — момент инерции
человека, стоящего на краю платформы; — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.
Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением
. (2)
Определив из уравнения (1) и подставив полученное выражение в формулу (2), будем иметь
v=(J 1 +J 2 ) R/(J 1 +J' 2 ). (3)
Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; следовательно, J 1= 112m 1 R2 • Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому J 2=0, J' 2 =m 2 R 2. Угловая скорость платформы до перехода человека равна .
Заменив в формуле (3) величины J 1, J 2, J' 2. и их выражениями, получим
Сделав подстановку значений т 1, т 2, п, R и , найдем линейную скорость человека:
Пример 7. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n 1=0,5 c-1. Момент инерции jo тела человека относи-
Рис. 3.5
тельно оси вращения равен 1,6 кг м2. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m =2 кг каждая. Расстояние между гирями l 1=l,6 м. Определить частоту вращения n 2, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l 2 между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.
Решение. Человек, держащий гири (рис. 3.5), составляет
вместе со скамьей замкнутую механическую систему *, поэтому момент импульса J этой системы должен иметь постоянное значение. Следовательно, для данного случая
J1 = J2 ,
где J и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J 2 и — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опущенными руками. Отсюда
= (J 1/ J 2) .
Выразив в этом уравнении угловые скорости и через частоты вращения n1 и n2( =2 n) и сократив на 2 , получим
n2=(J1/J2)n1. (1)
Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J0 и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше расстояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно определить по формуле момента инерции материальной точки: J=mr2. Следовательно **,
J 1= J 0+2 m (l 1/2)2;
где т — масса каждой из гирь; l 1 и l 2. — первоначальное и конечное расстояние между гирями. Подставив выражения J 1 и J 2 в уравнение (1), получим
(2)
Выполнив вычисления по формуле (2), найдем
n 2==1,18 с-1.
Пример 8. Стержень длиной l =1,5 м и массой М= 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой m =10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью v o=500 м/с, и
Рис. 3.6 застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?
Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и нуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.
Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежу-
* Предполагается, что моменты всех внешних сил (сил тяжести и сил реакции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, являются уравновешенными. Трением пренебречь.
** В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) изменяется момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввиду сложности учета этого изменения будем считать момент инерции J о тела человека постоянным.
ток времени приводит его в движение с угловой скоростью и сообщает ему кинетическую энергию
(1)
где — момент инерции стержня относительно оси вращения.
Затем стержень поворачивается на искомый угол , причем
центр масс его поднимается на высоту . В от-
клоненном положении стержень будет обладать потенциальной
энергией
(2)
Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
Отсюда
Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня , получим
(3)
Чтобы из выражения (3) найти , необходимо предварительно
определить значение . В момент удара на пулю и на стержень
действуют силы тяжести, линии действия которых проходят через
ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил
относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули
о стержень будет справедлив закон сохранения момента импульса.
В начальный момент удара угловая скорость стержня =0,
поэтому его момент импульса . Пуля коснулась стержня
и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение
и участвуя во вращении стержня около оси. Начальный момент
импульса пули , где — расстояние точки попадания от
оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую
скорость , а пуля — линейную скорость , равную линейной
скорости точек стержня, находящихся на расстоянии т от оси вращения. Так как , то конечный момент импульса пули