Таким образом, искомое частное решение будет

.

Так как х = х₁+x₂, а общее решение имеет окончательно вид

,

где а и α - постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение показывает, что колебания точки складываются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой а (зависящей от на­чальных условий) и частотой k, называемых собственными колеба­ниями, и 2) колебаний с амплитудой А (не зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются вынужденными колеба­ниями

Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частоте воз­мущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числи­тель и знаменатель на k², можно представить в виде:

где , т. е. δ₀ есть величина статического отклонения точки под действием силы Q₀. Как видим, A зависит от отношения частоты р возмущающей силы к ча­стоте k собственных колебаний.

Подбирая различ­ные соотношения между р и k, можно получить вынужденные коле­бания с разными амплитудами. При p=0 амплитуда равна δ₀ (или близка к этой величине). Если величина р близка к k, амплитуда A становится очень большой. Когда p>> k, амплитуда A становится очень малой (практически близка к нулю).

Резонанс. В случае, когда р = k, т. е. когда частота возму­щающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса. Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно

возрастать так, как показано на рис. 17.

Рис.17