Синусно-косинусная форма

Лабораторная работа №2

Изучение спектров детерминированных и случайных сигналов.

Цель работы: изучение свойств и определение параметров сигналов, переносящих информацию по каналам связи. Ознакомиться принципами изучения сигналов в программе Матлаб.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Ряд Фурье

Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

· не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);

· число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным;

· число экстремумов должно быть конечным (в качестве примера функции, которая на конечном интервале имеет бесконечное число экстремумов, можно привести sin(1/ x) в окрестности нуля).

В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье.

Синусно-косинусная форма

В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:

Здесь ω₁ = 2π/ T круговая частота, соответствующая периоду повторения сигнала, равному T. Входящие в формулу кратные ей частоты k ω₁ называются гармониками; гармоники нумеруются в соответствии с индексом k; частота ω _k = k ω₁ называется k -й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда a_k и b_k рассчитываются по формулам:

Константа a ₀ рассчитывается по общей формуле для a_k. Ради этой общности и введена несколько странная на первый взгляд форма записи постоянного слагаемого (с делением на два). Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде:

Если s (t) является четной функцией, то все b_k будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если s (t) является нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициенты a_k; и в формуле останутся лишь синусные слагаемые.