Исследование зависимости показателей качества, измеряемых в нечисловых шкалах

p_{*, 1} , p_{*, 2}, …, p_*,q (35)

Таким образом, проверяемая гипотеза состоит в том, что распределение частот, с которыми в данной совокупности встречаются возможные значения одного из показателей, не зависит от того значения, который принял другой.

Разумеется, точное выполнение условия (33) для всех i и j на практике встречается крайне редко. Поэтому разности

p_i,j - p_{i ,*} p_*,j = = (n_i,j - n_{i ,*} n_*,j / n)

могут рассматриваться как меры отклонения реальных данных от проверяемой гипотезы (33). Установлено, что если X и Y независимы, то величина

χ² _расчет = (36)

подчиняется распределению “хи-квадрат” с (p -1)×(q -1) степенями свободы.

Если при заданном уровне значимости α (на практике его часто выбирают равным 0.05 [115]) значение χ²_расчет превосходит α-процентную точку χ²_табл распределения χ² с (p-1)(q-1) степенями свободы, т.е.

χ²_расчет > χ²_табл ,

то гипотезу о независимости показателей X и Y следует отвергнуть. В противном случае будем говорить, что имеющиеся данные результатов измерения показателей не противоречат проверяемой гипотезе и, следовательно, отвергать ее нет оснований.

Напомним, что если рассматриваемый показатель измеряется в шкале наименований, то в результате измерения на данном множестве объектов устанавливается отношение эквивалентности, а если он измеряется по ординальной шкале, то устанавливаемое отношение является квазипорядком.

Мера «похожести» двух бинарных отношений R ^{( X )} и R ^{( Y )}, определяемых показателями X и Y, вычисляется по формуле

d (R ^(X) , R ^(Y)) = ç r ^(X) _i,j - r ^(Y) _i,j ç, (37)

где R ^(X) = { r ^(X) _i,j }, R ^(Y) = { r ^(Y) _i,j } – матрицы бинарных отношений R ^(X) и R ^(Y), обе имеющие размеры n·n, где n – число объектов в данной совокупности.

С добавлением новых объектов размеры обеих матриц возрастают, что на практике при большом числе объектов приводит к существенным неудобствам. С этой точки зрения таблица сопряженности N = { n_i,j }, с размерами p×q, имеет ряд преимуществ: ее размеры, как правило, невелики, так как различных возможных уровней показателей качества X и Y на практике не бывает много. Кроме того, добавление новых объектов не изменит значения p и q (за исключением тех случаев, когда число пунктов шкалы измерения показателя заранее неизвестно).

Рассмотрим вопрос о том, какой вид приобретает формула (37) для вычисления расстояния между результатами измерения показателей X и Y, в тех частных случаях, когда оба они измеряются по шкале наименований или по ординальной шкале и выразим это расстояние через элементы таблицы сопряженности.

Пусть N = { n_i,j } - таблица сопряженности результатов измерения показателей X и Y, которые оба измеряются по шкале наименований. Тогда можно доказать (см. работу, например, [116], что расстояние (37) между отношениями эквивалентности R ^{( X )} и R ^{( Y )}, порождаемыми результатами измерений, будет иметь следующий вид:

d (R ^{( X )}, R ^{( Y )}) = (38)

Если оба показателя X и Y измеряются по ординальной шкале, то расстояние между бинарными отношениями R ^{( X )} и R ^{( Y )} может быть представлено с помощью элементов таблицы сопряженности в следующем виде:

d (R ^{( X )}, R ^{( Y )}) = . (39)

С помощью таблиц сопряженности и формул (38), (39) можно легко находить расстояния между качественными показателями. В случае, когда имеется несколько таких показателей: X ₁, X ₂, …, X _g, попарные расстояния между ними можно представить с помощью матрицы D = {d _i,j } (i,j = 1,…, g), элементы которой определяются равенством:

d _i,j = d (R ^{( i )}, R ^{( j )}), (40)

где R ^{( i )} – бинарное отношение, порождаемое показателем X _i (i = 1,…, g).

Такой случай имеет место, например, когда качество оценивалось комитетом из g экспертов, то есть были получены g различных ранжировок одного и того же множества объектов.

Для элементов матрицы D будут выполняться очевидные условия:

d _i,i = 0; d _i,j = d _j,i , (i,j = 1,…, g).

Анализ матрицы D иногда приводит к выводу, что показатели естественным образом разбиты на несколько групп, так что расстояния внутри одной группы относительно невелики, а расстояния между группами существенно больше. Более детальное рассмотрение состава таких групп может позволить найти объяснение этому факту и даже найти интерпретацию каждой из выделенных групп показателей. Таким образом, исследование матрицы D есть один из возможных способов анализа структуры данного множества показателей качества.

Естественным образом возникает задача о построении такого показателя X ^*, что отвечающее ему бинарное отношение R ^(*) будет обладать следующим свойством: сумма расстояний от R ^(*) до бинарных отношений R ^{( i )} является минимальной. Это условие можно записать в виде

min = ,

где минимум берется по всевозможным бинарным отношениям R.

Если отношение R ^(*), обладающее вышеуказанным свойством, удастся построить, то показатель X ^* можно рассматривать в качестве усредненного показателя, который представляет собой некий компромисс между всеми исходными показателями X ₁, X ₂, …, X _g.

Обозначим через { r^*_j,k } матрицу бинарного отношения R ^(*) и аналогичным образом через { r ^{( i )} _j,k } (i = 1,…, g) – матрицы отношений R ^{( i )}, где j, k = 1,…, n – число оцениваемых объектов. Тогда для искомого отношения R ^(*) должно выполняться то условие, что сумма

F (R ^(*) ) = (41)

принимает минимальное значение по всем { r^*_j,k }.

Пусть c_j,k - число показателей (среди рассматриваемых X ₁, X ₂,…, X _g), по которым j -й объект не хуже, чем k -й объект (j, k = 1,…, n). Тогда

c_j,k = . (42)

Поскольку все элементы r^*_j,k и r ^{( i )} _j,k могут принимать только значения 0 или 1, то

(r^*_j,k)² = r^*_j,k, (r ^{( i )} _j,k)² = r ^{( i )} _j,k. (43)

Поэтому в (41) можно заменить модуль разности ç r ^{( i )} _j,k - r^*_j,k ç на квадрат разности (r ^{( i )} _j,k - r^*_j,k)². Тогда (41) можно записать в виде

F(R ^(*) ) = =

= (44)

Последнее равенство записано с использованием (42) и (43). Выбор отношения R ^(*) может повлиять только на величину вычитаемого в круглых скобках в выражении (44). Поэтому минимум F(R ^(*)) достигается тогда, когда достигается максимум выражения

= r^*_j,k. (45)

Чтобы (45) достигало своего максимума, нужно, чтобы r^*_j,k равнялось единице всякий раз, когда c_j,k > g/2, и равнялось нулю в противном случае.

Таким образом, мы получили следующее простое правило построения матрицы { r^*_j,k } искомого бинарного отношения R ^(*):

1, если c_j,k > g/2;

r^*_j,k = 0, если c_j,k < g/2. (46)

Данное правило можно назвать «правилом большинства», так как оно определяет, что произвольные два объекта из рассматриваемого множества будут находиться в отношении R ^(*) в том случае, если число исходных отношений R ^{( i )} (i = 1,…, g), которые справедливы для данных двух объектов, – более половины от их общего числа g.

К сожалению, на практике данный простой метод построения такого оптимального (усредненного) показателя X ^* оказывается применимым далеко не всегда. Дело в том, что, как мы помним, исходные показатели X ₁, …, X _g, как правило, представляют собой признаки объектов, измеряемые по ординальной или номинальной шкале. Соответственно порождаемые ими на данном множестве объектов бинарные отношения R ⁽¹⁾, R ⁽²⁾, …, R ^{( g )} являются или отношениями эквивалентности, или отношениями квазипорядка. В то же время построенное согласно (2.46) бинарное отношение R ^(*) вовсе не обязательно будет того же типа, что и отношения R ^{( i )} (i = 1,…, g). Для иллюстрации этого обстоятельства можно привести следующий пример.

Пример. Пусть произведена оценка качества пяти объектов по трем показателям X ₁, X ₂, X ₃, которые измеряются по ординальной шкале (например, ранжировка объектов тремя различными экспертами). Предположим, что результаты оценивания имеют следующий вид: