Билет 2. Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность, называется центральным углом

Вопрос 2

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность, называется центральным углом

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом (∟АВС).

Т: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:Рассмотрим вписанный угол АВС, стороны ВА и ВС которого лежат по разные стороны от луча ВО, проходящего через центр окружности. Пусть D – точка пересечения луча ВО с окружностью. Дуги АD и DC меньше полуокружности, поэтому ими измеряются центральные углы AOD и DOC:ÐAOD=ÈAD, ÐDOC=ÈDC. Треугольник АОВ – равнобедренный по построению, откуда Ð1=Ð2. Поскольку ∟AOD – внешний угол ∆АОВ, то ÐAOD=Ð1+Ð2. Следовательно, Ð2=½ÐAOD=½ ÈAD. Аналогично доказывается, что Ð4=½ÈDC. Значит ÐАВС=Ð2+Ð4= ½ÈAD+½ÈDC=½ÈAC. В случае иного расположения сторон угла АВС доказательство аналогично. Теорема доказана.

Билет 3