Теорема 3.3

Если t = j(x) непрерывна в точке а j(а) = b, и функция f (t) непрерывна в точке b, то сложная функция f (j (x)) непрерывна в точке а.

Доказательство:

По определению непрерывности нужно доказать, что "e > 0 $d > 0: | f (j (x)) - f (j (a)) | < e при

| x - a | < d.

Зададим произвольное e > 0.

Так как f (t) непрерывна в точке b, то $g > 0: | f (t) - f (b) | < e при | t - b | < g. Отсюда следует, что

| f (j (x)) - f (j (a)) | < e при | j (x) - j (a) | < g. (1)

В свою очередь, так как j (x) непрерывна в точке a,

то для указанного g $d > 0: | j (x) - j (a) | < g при | x - a | < d. (2)

Из (1) и (2) следует, что | f (j (x)) - f (j (a)) | < e, если | x - a | < d, что и требовалось доказать.

Теорема доказана.