Теорема доказана. Следствие (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение)

Следствие (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение)

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a, b ], f (а) = A, f (b) = B. Тогда " С Î[ A, B ] $ c Î [ a, b ]: f (c) = C.

Доказательство.

Рассмотрим функцию g (x) = f (x) - C. Пусть, для определённости, A < C < B. Тогда

g (a) = f (a) - С = A - C < 0, g (b) = f (b) - C = B - C > 0. Кроме того, g (x) непрерывна на сегменте

[ a, b ]. Следовательно, по теореме 3.4 $ c Î [ a, b ]: g (c) = 0, то есть f (c) - C = 0 Þ f (c) = C, что и требовалось доказать.

Непрерывность сложной функции.

Пусть аргумент t функции y = f (t) является функцией аргумента x: t = j(x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и j.

y = f (j (x)).

Пример:

y = sin() - сложная функция.