2015-04-20
4558
Определение 1:
Пусть f (x) определена в некоторой окрестности точки а. f (x) называется непрерывной в точке а если 
f (x) = f (а)
Примеры:
f (x) = sin x непрерывна в точке х =0, так как 
sin x = 0, и sin 0 = 0, то есть sin x = sin 0.
Рациональная функция f (x) = 
непрерывна в любой точке а, в которой 
(а) ¹ 0,
так как было доказано, что = 
( (а) ¹ 0).
Замечаение:
Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде
f (x) = f ( x).
Таким образом, непрерывность f (x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами.
Определение 2.
f (x) называется непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d > 0: | f (x) - f (а) | < e при | х - а | < d.
Пусть f (x) непрерывна в точке а и f (а) > 0. Возьмём e = f (a). По определнию 2
$ d > 0: | f (x) - f (a) | < f (а) при | х - а | < d, то есть - f ( a ) < f ( x ) - f ( a ) < f (a) в d- окрестности точки а.
Из последнего неравенства следует, что f (x) > 0 в d- окрестности точки а.
Итак, если f (x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а. Это свойство называется устойчивостью знака непрерывной функции.
|
|
|
Пусть f (x) определена на [ a, a + d). Функция f (x) называется непрерывной в точке а справа, если 
f (x) = f (а). (то есть f (а + 0) = f (а)).
Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.
3. Теорема о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение.
