Разновидности детерминистских методов интерполяции

В зависимости от количества используемых опорных точек выделяют:

-глобальные методы - вычисляют искомые значения с использованием всего набора опорных точек (метод глобального полинома);

-локальные методы - вычисляют неизвестные значения по опорным точкам, расположенным в окрестностях искомой (ОВР, сплайн).

В зависимости от того, проходит или не проходит поверхность, построенная с помощью детерминистских методов, через опорные точки, выделяют:

-жесткий интерполятор - дает в опорной точке значение, равное измеренному (методы ОВР и сплайн).

-нежесткий интерполятор - дает в опорной точке значение, отличное от измеренного, т.е., аппроксимирует значение в опорной точке (глобальный полином).

32. Методы интерполяции поверхностей: ОВР, тренд, сплайн (общее представление о каждом из методов, их особенности, условия применения).

Метод обратных взвешенных расстояний:

-рассчитывает значение каждой ячейки растра, усредняя значения опорных точек в заданной окрестности данной ячейки, при условии, что чем ближе точка нах-ся к центру расчетной ячейки, тем больше ее вклад в интерполир. значение по сравнению с более удаленными.

Z=сумма(wi*zj)/сумма(wj)

Z-вес, среднее значение;

zj-значения опорных точек, попавших в заданную окрестность;

wi-некоторая обратная функция расстояния.

Чем больше степень обратной функции расстояния, тем большее влияние имеют ближайшие точки и меньшее - удаленные.

В результате поверхность становится более детальной и менее сглаженной.

Для расчета значений каждой ячейки может исп-ся:

-либо фиксированный радиус поиска опорных точек с переменным кол-вом опорных точек;

-либо переменный радиус с фиксированным кол-вом опорных точек.

Сплайн-интерполяция - создает поверхность с минимальной кривизной, точно проходящую через заданные опорные точки.

(Аналогия с куском тонкой растягиваемой резины, проходящей через заданные точки с минимизацией общей кривизны поверхности).

Сплайн-метод позволяет строить поверхности, учитывающие глобальный тренд наряду с локальными вариациями.

Минимальная кривизна поверхности означает, что сумма квадратов величин второй производной, взятых в каждой точке поверхности, должна быть минимальной.

Сплайн - это кусочно-заданная функция, совпадающая с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения.

При сплайн-интерполяции:

-все пространство делится на равные участки для локальной аппроксимации;

-для каждого участка подбирается математическая функция, точно проходящая через уточненное количество ближайших опорных точек;

-максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна.

Метод обеспечивает гладкость поверхности - ее непрерывность, дифференцируемость и непрерывность первой производной.

Лучше всего подходит для плавно изменяющихся поверхностей (рельеф, концентрация загрязнений).

Не годится для поверхностей с резкими изменениями.

Тренд-интерполяция - создает поверхность, подбирая математическую функцию (полином заданного порядка) ко всем входным точкам методом наименьших квадратов.

При этом результирующая поверхность f(х,у) минимизирует отклонения от входных опорных точек (чем меньше среднеквадратическая ошибка между рассчитанными и входными значениями, тем точнее интерполированная поверхность представляет входные точки).

суммаEi^2 = сумма[zi - f(хi, уi)]^2 -> min

Полученная поверхность редко когда проходит через заданные опорные точки.

Используется, когда больше интересуют общие тенденции поверхности, а не точное моделирование мелких локальных неровностей, при этом моделируемый атрибут в пределах изучаемой территории должен меняться медленно.

Степень используемого полинома определяет величину волнистости поверхности.

33. Метод Кригинга для интерполяции поверхности: к какому классу методов интерполяции относится; гипотеза, лежащая в его основе; общее представление о методе; основные разновидности метода Кригинга; как происходит определение неизвестного значения в методе Кригинга (основные задачи, решаемые при интерполяции методом Кригинга, и этапы реализации Кригинга).

Кригинг - ключевой метод геостатистики для анализа пространственно-распределенных данных.

Основывается на гипотезе пространственной однородности («стационарность 2-го порядка»):

- пространственная изменчивость, представленная значениями Z в исходных опорных точках, статистически однородна по всей поверхности;

- вариации в значениях исходных опорных точек зависят от расстояния между ними, но не зависят от их местоположения.

Наборы точек, включающие аномальные впадины, высоты или другие какие-либо резкие изменения, не предназначены для кригинг-метода.

Кригинг обрабатывает поверхность, считая пространственные изменения значений Z(s) в точках s в общем случае суммой трех компонент:

Z(s)= m(s)+e(s)+ сигма, где

m(s) - структурная (неслучайная) компонента, которая представляет поверхность как общий тренд в определенном направлении и может быть описана какой-либо математической функцией.

e(s) - случайная, но пространственно-коррелированная компонента - некоторые отклонения от общей тенденции (тренда), которые являются случайными, но связанными друг с другом пространственно. Предположения, которые делаются относительно данной компоненты:

-среднее всех e(s) =0;

-вариации значений e(s) и e(s+h) в любых точках s и (s+h) зависят от смещения h (расстояния между точками), но не зависят от местоположения точек);

сигма - случайный шум, не связанный с общей тенденцией и не имеющий пространственной автокорреляции (остаточная ошибка).

Основные виды Кригинга:

1)Ординарный:

Z(s)= m+e(s), где m – неизвестная константа (неизвестное постоянное среднее всех значений Z(s))

2)Простой

Z(s)= m+e(s), где m – известная константа (известное среднее)

3)Универсальный:

Z(s)= m(s)+e(s), где m(s) – некоторая детерминистская функция (данные имеют тренд!)

В методе Кригинга для определения неизвестного значения в некоторой точке значения исходных опорных точек, попавших в некую окрестность вокруг обрабатываемой точки, взвешиваются.

В методе Кригинга (в отличие от ОВР) веса опорных точек в окрестности искомой точки зависят не только от расстояния между опорной точкой и искомой, но и от пространственной структуры данных в целом.

Поэтому для установления весов лямдаi в Кригинге сначала необходимо определить пространственную структуру данных, т.е. количественно установить пространственную автокорреляцию данных.

Кригинг включает 2 основные задачи:

1. установить пространственную структуру данных - подобрать к данным модель пространственной изменчивости (вариограмму).

Вариограмма - это функция, которая связывает различие в значениях опорных точек и расстояние, на которое они отстоят друг от друга.

Служит средством для исследования пространственной автокорреляции (связей) между точками.

2.построить поверхность, используя для расчета (прогноза) неизвестных значений подобранную вариограмму, расположение и известные значения опорных точек, находящихся в пределах заданного радиуса поиска вокруг точки с искомым значением.

Этапы интерполяции по методу Кригинга:

1.Расчет эмпирической семивариограммы

2.Подбор теоретической функции к полученной эмпирической семивариограмме (по методу наименьших квадратов).

3.Нахождение весов лямдаi на основе полученной модели вариограммы

4.Выполнение интерполяции - на основе рассчитанных весов кригинга лямбдаi и известных значений Zi в опорных точках в пределах заданного радиуса поиска вычисляется значение в искомой точке Z0.