Интерполяционная формула Лагранжа

Каждому узлу интерполяции , сопоставим многочлен

. (1)

Многочлен равен нулю в любом узле интерполяции , отличном от узла , так как в числителе имеется множитель , который обращается в нуль при .

В узле многочлен принимает значение равное единице, так как при числитель и знаменатель совпадают ,

Докажем, что интерполяционный многочлен можно представить формулой:

(2).

Правая часть равенства (2) является многочленом степени не выше n. В узлах интерполяции её значение равно:

,

при все числа , а при . Многочлен представленный формулой (2), удовлетворяет всем условиям задачи. Формула (2) называется интерполяционной формулой Лагранжа в развернутой форме:

(3)

или

L_n (x)= f (x_i)

где

,

.

Теорема. Задача интерполяции всегда имеет единственное решение, которое может быть представлено формулой (3).

Пример 9. Пользуясь формулой Лагранжа, составить интерполяционный многочлен по условиям примера 7. В этом случае

Формула (3) даёт:

.