2015-01-21
1612
Каждому узлу интерполяции 
, сопоставим многочлен
. (1)
Многочлен 
равен нулю в любом узле интерполяции 
, отличном от узла 
, так как в числителе имеется множитель 
, который обращается в нуль при 
.
В узле многочлен принимает значение равное единице, так как при 
числитель и знаменатель совпадают 
,
Докажем, что интерполяционный многочлен 
можно представить формулой:
(2).
Правая часть равенства (2) является многочленом степени не выше n. В узлах интерполяции её значение равно:
,
при 
все числа 
, а при 
. Многочлен представленный формулой (2), удовлетворяет всем условиям задачи. Формула (2) называется интерполяционной формулой Лагранжа в развернутой форме:
(3)
или
Ln (x)= 
f (xi)
где
,
.
Теорема. Задача интерполяции всегда имеет единственное решение, которое может быть представлено формулой (3).
Пример 9. Пользуясь формулой Лагранжа, составить интерполяционный многочлен по условиям примера 7. В этом случае 
Формула (3) даёт:
.
