Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования значений вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Pn(x)=yn+q yn- 1++y0,
Пример: y= sin x x , h= 5
Горизонтальная таблица разностей.
x | y | y | 2y | 3y | 4y | 5y |
0.5000 | 0.0736 | -0.0044 | -0.0005 | 0.0002 | ||
0.5736 | 0.0692 | -0.0049 | -0.0005 | 0.0002 | ||
0.6428 | 0.0643 | -0.0054 | -0.0003 | |||
0.7071 | 0.0589 | -0.0057 | ||||
0.7660 | 0.0532 | |||||
0.8192 |
Пример: Отыщем sin( 51 o ), xn= 51, x =50o, q= 0.2
Как первая, так и вторая формула Ньютона может быть использована для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции y для значений аргументов x, лежащих вне пределов таблицы.
Если x<x 0, то лучше применять первую интерполяционную функцию Ньютона.
Если x>x 0, то лучше применять вторую интерполяционную функцию Ньютона.
Т.е., 1ИФН используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад.
2 ИФН используется для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.
|
|
Как видно из формул 1 и 2, при интерполяции используется разности: в 1ИФН ny 0, во 2ИФН kyk+ _.
Но существуют формулы, называемые формулы с центральными разностями, к ним относятся:
- ИФ Гаусса
- ИФ Стерлинга
- ИФ Бесселя,
которые используют разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы, соответствует начальным значениям xk, yk или в строках близлежащих.
Но все эти формулы работают только для постоянного шага.
Необходимо отметить следующее:
при построении интерполяционных формул Ньютона в качестве начального значения выбирается первый или последний узел интерполирования; для центральных формул начальный узел является средним.
При применяют формулу Стирлинга, а при - Бесселя.
1ИФН и 2ИФН применяют тогда, когда интерполирование производится в начале или в конце таблицы и нужных центральных разностей не хватает.
Общая характеристика интерполяционных