Задачи для самостоятельного решения. Примечание: в каждой задаче надо писать ответ и там где требуется, обосновывать его

Примечание: в каждой задаче надо писать ответ и там где требуется, обосновывать его.

Задача 1. Игра в пальцы. Из двух играющих каждый показывает один или два пальца и называет число один или два, которое, по его мнению, означает количество пальцев, показываемое вторым игроком. Если оба угадали, сколько пальцев показал каждый, то ничья и выигрыш обоих 0. Если оба не угадали - 0. Если только один угадал, сколько пальцев показал второй игрок, то угадавший получает выигрыш за счёт не угадавшего в виде очков (денег), равных сумме пальцев, показанных обоими игроками.

Составить платежную матрицу и выбрать оптимальную стратегию по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица задав λ- коэффициент оптимизма. Сравните полученные результаты.

Задача 2. Выбрать оптимальные стратегии по трем критериям в задаче с поездом..

Задача 3. (оптимальный портфель). Инвестор собирается вложить имеющийся капитал 10 000 руб. в акции одной из четырёх компаний. Экспертная информация об их возможной прибыльности в зависимости от рыночной конъюнктуры приведена в табл. (платежная матрица).

Компания	Прибыльность одной акции (в %) в зависимости от рыночной конъюнктуры
	подъем	норма	спад

Определите оптимальную стратегию, рассчитывая математические ожидания в каждой строке, применив правило Лапласа: (Если вероятности состояния «природы» неизвестны их принимают одинаковыми, с учётом, что их сумма равна единице).

Задача 4. Производитель аэросаней заказывает двигатели. Точный спрос на аэросани неизвестен, но на основании предыдущего опыта можно оценить вероятности различных уровней спроса. Данные представлены в таблице.

Спрос
Вероятность спроса (а значит продаж)	0,15	0,25	0,25	0,20	0,15

Двигатели могут или сразу использоваться, или неиспользованные храниться. Если двигатель используется, это даёт прибыль 250 д. е., если залеживается, это влечёт убытки 50 д. е.

1.Постройте платёжную матрицу и определите оптимальный размер заказываемой партии по критериям Вальда и Сэвиджа.

2.Как изменятся полученные оптимальные решения, если потери от неиспользованного двигателя составляют 200 д. е.?

3.Найдите оптимальное решение по матрице рисков, делая выбор по математическому ожиданию.

4.Проанализируйте, насколько существенно изменится это решение, если вероятности известны с точностью не выше 10 процентных пунктов. Для этого у оптимального решения измените вероятность на 10 процентов (например, в сторону увеличения) и измените вероятность у любого другого решения, так чтобы сумма всех вероятностей осталась равной единице.

Задача 5. (подготовка к зиме). Для отопления коттеджа в зимний период используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом тонна угля стоит 75 руб., в мягкую зиму - 85, в обычную - 90 и в холодную - 100 руб. Расход угля зависит от характера зимы: в мягкую зиму он составит 5 т, в обычную - 7 и в холодную - 8 т. Продать оставшийся уголь нельзя.

Создайте платёжную матрицу и выберите оптимальную стратегию по критерию Гурвица.

Задача 6. (задачи 7 – 11 взяты из книги Бабенко Т.И., Барабаш С.Б. Методы принятия управленческих решений.- Новосибирск: Издательство СО РАН, 2006.)

Годовой абонемент в яхт-клубе стоит 100 ден. ед. Цена одной яхты равна 170 ден. ед. Аренда помещения и хранение яхт от одной до 7 шт. обходится в 530 ден. ед.

Сколько следует закупить яхт из расчёта одна яхта на 5 человек, если предполагаемое число членов клуба колеблется от 10 до 25 человек?

Пояснение: перебор вариантов количества потенциальных яхтсменов ограничим четырьмя вариантами: 10, 15, 20 и 25 человек (если полученные выводы для смежных вариантов будут существенно различаться, можно провести дополнительный, уточняющий расчёт).

1. Решите задачу по критерию Гурвица, задав четыре разных значений коэффициенту λ. Постройте график зависимости изменений дохода от значений этого коэффициента.

2. Решите задачу, исходя из того, что имеются статистические данные вероятностей спроса на членство в яхт-клубе: Р=(0,1; 0,2; 0,4; 0,3) и по критерию Лапласа. Сравните полученные эти два решения.

Задача 7. Рассмотрим постановку и решение следующей зада­чи. Коммерческое предприятие заключило договор на централизо­ванную поставку овощей из теплиц на сумму 10 ООО руб. ежеднев­но. Если в течение дня овощи не поступают, магазин имеет убытки в размере 20 ООО руб. от невыполнения плана товарооборота. Мага­зин может осуществить самовывоз овощей фермера. Для этого он может сделать заказ в транспортном предприятии, что вызовет до­полнительные расходы в размере 500 руб. Однако опыт показыва­ет, что в половине случаев посланные машины возвращаются без овощей. Можно увеличить вероятность получения овощей от фер­мера до 80%, если предварительно посылать туда своего представи­теля, что требует дополнительных расходов в размере 400 руб. Су­ществует возможность заказать дневную норму овощей у другого надежного поставщика — плодоовощной базы по повышенной на 50% цене. Однако в этом случае, кроме расходов на транспорт (500 руб.), возможны дополнительные издержки в размере 300 руб., связанные с трудностями реализации товара, если в тот же день по­ступит и централизованная поставка от фермера.

1.Какой стратегии надлежит придерживаться магазину, если заранее неизвестно, по­ступит или не поступит централизованная поставка? Обоснуйте выбранный вариант.

2. Какой стратегии надлежит придерживаться магазину, если своевременная поставка осуществляется с вероятностью 0,4.

Задача 8 (поставка товара ). На базе торговой организации имеется четыре сорта кофе. Магазин собирается сделать заявку на один из них. Если магазин завес кофе сорта пользующегося спросом, то он получит от продажи прибыль, а в противном случае он потерпит убыток. Информация о размерах прибыли и убытка приведе­на в табл. Требуется определить сорт кофе, который целесообраз­но завезти в магазин. Предполагается, что информация о спросе отсутствует.

Решение. В описанной выше ситуации данные о покупательском спросе отсутствуют. Поэтому ее

естественная модель - матричная игра, в которой одним из игроков является магазин, а другим - покупательский спрос (игрок 2). Каждый из игроков имеет по четыре стратегии: стратегия А – первого игрока, завоз i-го сорта кофе. Стратегия второго игрока - спрос на j-й сорт кофе.

Требуется определить гарантируемую ожидаемую прибыль.

Задача 9. Фирма, действующая в живописной местности Горного Алтая, планирует десятидневные маршруты для туристов в летнем се­зоне (60 дней). Известно, что число туристов в течение десятидневки колеблется от 1 до 1,5 тыс. человек. Группы комплектуются из 25 чело­век. Стоимость путёвки - 2 тыс. руб. Заработная плата инструктора со­ставляет 6 тыс. руб. в месяц. Необходимо оплатить ремонт помещений и снаряжения при подготовке к сезону в размере 30 тыс. руб. На экипи­ровку группы затрачивается 2 тыс. руб., на питание - 12 тыс. руб.

Сколько инструкторов следует пригласить на работу? Обоснуйте свой выбор.

Задача 10. Ежедневный спрос на булочки в продовольственном ма­газине колеблется от 1000 до 1500 штук. Булочки покупаются лотками по 100 шт. по цене 1,60 руб. и продаются по цене 2,20 руб. за штуку. Непроданные булочки распродаются по цене 0,80 руб. на следующее утро.

Ваши рекомендации по организации торговли.

Задача 11. Вы планируете открыть бухгалтерские месячные компь­ютерные курсы. Ожидаемая численность слушателей - от 100 до 200 человек. Средняя стоимость на рынке услуг за подобные курсы состав­ляет 1000 руб. С группой, численность которой не превышает 10 чело­век, работает преподаватель.

Расходы на обслуживание одной группы составляют 3000 руб. и на оплату преподавателя - 4500 руб. Аренда помещения обходится в 2000 руб. в месяц.

Сколько преподавателей стоит привлечь? А если оплату преподава­телей увеличить до 6500 руб.?

Примечание: считать в тыс. руб. Спрос рассматривать укрупнённо: 10, 12, 14, и т.д. групп.

Задача 12.. Организация, имея 600 (здесь и далее тыс. долл.), рассматривает возможность реализации следующего проекта. Некоторая партия товара может быть куплена за 500 и продана за 560. Свободные средства организация помещает на депозит по ставке 2%.

Анализируемые риски возникают только в процессе доставки товара.

Рассматриваются два вида доставки:

авиатранспортом с затратами 22 включающими обязательную страховку товара по цене приобретения. Вероятность авиакатастрофы - 0,001;

автотранспортом с затратами 8, причем риск обуславливается только возможностью ограбления, которое может произойти при нападении с целью ограбления. Вероятность нападения - 0,1. Дополнительно надо учесть, что

можно застраховать товар или по цене приобретения, или по цене реализации. При этом отношение сумм страховых выплат к цене страхового полиса составляют 40:1.

можно организовать охрану груза за 5, но при этом известно, что в 10% случаев наличие охраны не помогает спасти груз.

Требуется выбрать оптимальный вариант доставки груза

В условиях недоверия к предоставленным статистическим данным (вероятностям) применить метод принятия решений в условиях неопределенности, т.е. решить задачу методом Теории игр, исходя из того, что или есть нападение, или нет; или есть ограбление, или нет. Решать по критериям Сэвиджа и Гурвица;

Задача 13. Дана платёжная матрица:

А B	y1	y2	y3	y4	M(xi)	σ,i
x1					0,63	0,48
x2
x3
x4
Вероят- ность

Распределение состояний «природы» имеет вид: Р=(, , , ) – вероятности.

1. Тогда для каждой стратегии (строки) можем найти математическое ожидание:

,

, , .

Из всех математических ожиданий выбираем максимальное. Это и будет оптимальным решением по одному критерию.

2. Теперь необходимо определить среднеквадратическое отклонение по каждой стратегии (строке):

,

Вычисляем:

,

, , .

,

…, …, ….

…, …, …, ….

Таким образом, каждая стратегия характеризуется математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением. Задача стала двухкритериальной. Варианты решений можно представить графически.

1. Укажите точки на графике и выберите наилучшее (а не оптимальное) для Вас решение с учётом ваших приоритетов. Считая, что чем меньше среднеквадратическое отклонение, тем меньше риск (знать почему?)

2. Выберите оптимальное решение в этой задачи по критерию Сэвиджа и сравните его с выбором, которое Вы сделали по двум критериям, т.е. сравните наилучшее и оптимальное решения.

Задача 14. Рассмотрим игру с природой, в которой в роли сознательного игрока выступает страховая организация, а роль природы исполняет состояние объекта страхования (состояние спутника связи при запуске). У игрока три стратегии E1-страхование, Е2-сострахование, Е3-перестрахование. У природы четыре состояния: П1 - происшествия нет; П2-повреждение объекта страхования; П3-частичная гибель объекта; П4-полная гибель объекта. Вероятности этих событий приведены в последней строке платёжной матрицы. Выберите оптимальную стратегию по двум критериям так же как в предыдущей задаче.

	Платежная матрица, млрд. дол.
	П1	П2	П3	П4
E1	0,00	-12,00	-18,30	-24,00
Е2	-0,09	-9,50	-14,00	-18,20
Е3	-0,10	-2,51	-6,23	-10,82
P	0,84	0,10	0,05	0,01