Формула Байеса (теорема гипотез)

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н ₃/ А) = 0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

Действительно, из (2.7) получим, что откуда следует справедливость формулы (3.2).

Пример

· После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение.

Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы:

Н ₁ – первый попал, а второй промахнулся,

Н ₂ – первый промахнулся, а второй попал,

Н ₃ – оба попали,

Н ₄ – оба промахнулись.

Вероятности гипотез: р(Н ₁) = 0,6·0,3 = 0,18, р (Н ₂) = 0,4·0,7 = 0,28, р (Н ₃) = 0,6·0,7 = 0,42, р (Н ₄) = 0,4·0,3 = 0,12.

Тогда р (А/Н ₁) = р (А/Н ₂) = 1, р (А/Н ₃) = р (А/Н ₄) = 0.

Следовательно, полная вероятность р (А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46.

Применяя формулу Байеса, получим:

· Около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время равна 0,95; если из деталей обычного качества – его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.