Таким образом, мы можем дать следующую формулировку частной теоремы о повторении опытов

Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие появляется с вероятностью , то вероятность того, что событие появится ровно раз, выражается формулой

, (4.1.1) где .

Формула (4.1.1) описывает, как распределяются вероятности между возможными значениями некоторой случайной величины – числа появлений события при опытах.

В связи с тем, что вероятности по форме представляют собой члены разложения бинома , распределение вероятностей вида (4.1.1) называют биномиальным распределением.

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. Причем интерес представляет не событие А в каждом опыте, а общее число появления события А в серии опытов. Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от исходов других опытов. Если опыты производятся в одинаковых условиях, то вероятность события А во всех опытах одинакова. Если условия различны, то вероятность меняется от опыта к опыту.

Частная теорема о повторении опытов формулируется следующим образом.

Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых опытов постоянна, то вероятность того, что в n опытах событие А наступит m раз определяется формулой Бернулли:

где - число сочетаний из n элементов по m, q=1-p.

Это формула выражает биномиальное распределение вероятностей, так как все вероятности Р являются членами разложения бинома

Эта формула определяется теоремой Пуассона. Если в схеме Бернулли количество опытов n достаточно велико , а вероятность р события А в каждом опыте постоянно, то вероятность может определяться по приближенной формуле Муавра-Лапласа:

,

где ;

- локальная функция Лапласа, которая табулирована и приводится в справочниках. Данная формула отражает, так называемую, локальную теорему Муавра-Лапласа.

,

Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле:

Вероятность появления события А хотя бы один раз при n опытах

Наивероятнейшее число наступление события А в n опытах, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p (и не наступить с вероятностью q=1-p), определяется из двойного неравенства

Если событие А в каждом опыте может наступить с вероятностью p, то количество n опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с заданной вероятностью Рзад. можно было утверждать, что данное событие А произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:

Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна и та же. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производится в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется.
Тема 5. Общая теорема о повторении опытов.

Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события во всех опытах одна и та же. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производятся в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Например, если производится ряд выстрелов в переменных условиях (скажем, при изменяющейся дальности), то вероятность попадания от выстрела к выстрелу может заметно меняться.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появится или не появиться некоторое событие , причем вероятность появления события в i-м опыте равна , а вероятность непоявления . Требуется найти вероятность того, что в результате опытов событие появится ровно раз.

Обозначим по-прежнему событие, состоящее в том, что событие появится раз в опытах. По-прежнему представим как сумму произведений элементарных событий:

причем в каждое из произведений событие входит раз, событие - раз. Число таких комбинаций по-прежнему будет , но сами комбинации между собой будут уже неравновероятны.

Применяя теорему сложения и теорему умножения для независимых событий, получим:

т.е. искомая вероятность равна сумме всех возможных произведений, в которых буквы с разными индексами входят раз, а буквы с разными индексами раз.

Для того чтобы чисто механически составлять все возможные произведения из букв и букв с разными индексами, применим следующий формальный прием. Составим произведение биномов:

или короче

,

где – произвольный параметр.

Зададимся целью найти в этом произведении биномов коэффициент при . Для этого перемножим биномы и произведем приведение подобных членов. Очевидно, каждый член, содержащий , будет иметь в качестве коэффициента произведение букв с какими-то индексами и букв , а после приведения подобных членов коэффициент при будет представлять собой сумму всех возможных произведений такого типа. Следовательно, способ составления этого коэффициента полностью совпадает со способом вычисления вероятности в задаче о повторении опытов.

Функция , разложение которой по степеням параметра дает в качестве коэффициентов вероятности , называется производящей функцией вероятностей , или просто производящей функцией.

Пользуясь понятием производящей функции, можно сформулировать теорему о повторении опытов в следующем виде.

Вероятность того, что событие в независимых опытах появится ровно раз, равна коэффициенту при в выражении производящей функции:

,

где - вероятность появления события в i-м опыте, .

Вышеприведенная формулировка общей теоремы о повторении опытов, в отличие от частной теоремы, не дает явного выражения для вероятности . Такое выражение в принципе написать можно, но оно является слишком сложным, и мы не будем его приводить. Однако, не прибегая к такому явному выражению, все же можно записать общую теорему о повторении опытов в виде одной формулы:

. (4.2.1)

Левая и правая части равенства (4.2.1) представляют собою одну и ту же производящую функцию , только слева она написана в виде одночлена, а справа – в виде многочлена. Раскрывая скобки в левой части и выполняя приведение подобных членов, получим все вероятности:

как коэффициенты соответственно при нулевой, первой и т.д. степенях .

Очевидно, частная теорема о повторении опытов вытекает из общей при

В этом случае производящая функция обращается в -ю степень бинома :

.

Раскрывая это выражение по формуле бинома, имеем:

,

откуда следует формула (4.1.1).

Отметим, что, как в общем, так и в частном случае, сумма всех вероятностей равна единице:

. (4.2.2)

Это следует, прежде всего, из того, что события образуют полную группу несовместных событий. Формально к равенству (4.2.2) можно прийти, полагая в общей формуле (4.2.1) .

Во многих случаях практики, кроме вероятности ровно появлений события А, приходится рассматривать вероятность не менее появлений события А.

Обозначим событие, состоящее в том, что событие А появится не менее раз, а вероятность события обозначим . Очевидно,

,

откуда, по теореме сложения,

,

или короче

. (4.2.3)

При вычислении часто бывает удобнее не пользоваться непосредственно формулой (4.2.3), а переходить к противоположному событию и вычислять вероятность по формуле

. (4.2.4)

Пример 1. Производится 4 независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний; вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно

.

Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий:

.

Решение. Составляем производящую функцию:

откуда

.

Пример 2. Производится 4 независимых выстрела в одинаковых условиях, причем вероятность попадания p есть средняя из вероятностей предыдущего примера:

.

Найти вероятности

.

Решение. По формуле (4.1.1) имеем:

Пример 3. Имеется 5 станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается из-за атмосферных помех. Вследствие удаленности станций друг от друга перерыв связи с каждой из них происходит независимо от остальных с вероятностью . Найти вероятность того, что в данный момент времени имеется связь не более чем с двумя станциями.

Решение. Событие, о котором идет речь, сводится к тому, что будет нарушена связь не менее, чем стремя станциями. По формуле (4.2.3) получим:

Пример 4. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 10 единиц. Каждый из объектов может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.

Решение. Вероятность потери хотя бы одного объекта можно было бы найти по формуле

,

но несравненно проще воспользоваться вероятностью противоположного события – ни один объект не потерян – и вычесть её из единицы:

.

Пример 5. Прибор состоит из 8 однородных элементов, но может работать при наличии в исправном состоянии не менее 6 из них. Каждый из элементов за время работы прибора выходит из строя независимо от других с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что прибор откажет за время .

Решение. Для отказа прибора требуется выход из строя не менее двух из восьми элементов. По формуле (4.2.4) имеем:

.

Пример 6. Производится 4 независимых выстрела с самолета по самолету. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Для поражения (выхода из строя) самолета заведомо достаточно двух попаданий; при одном самолет поражается с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

Решение. Задача решается по формуле полной вероятности. Можно было бы рассмотреть гипотезы

- в самолет попал 1 снаряд,

- в самолет попало 2 снаряда,

- в самолет попало 3 снаряда,

- в самолет попало 4 снаряда

и находить вероятность события А – поражения самолета – с помощью этих четырех гипотез. Однако значительно проще рассмотреть всего две гипотезы:

- в самолет не попало ни одного снаряда,

- в самолет попал 1 снаряд,

и вычислять вероятность события - непоражения самолета:

Имеем:

Следовательно,

,

откуда

.

Если производятся n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна то вероятность Р того, что событие А в n опытах появится m раз, равна коэффициенту при Z в разложении по степеням Z производящей функции где

Задача 1.

Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного?

РЕШЕНИЕ:

Пусть событие А состоит в том, что среди десяти изделий нет ни одного нестандартного изделия, а событие В - в том, что среди десяти изделий только одно нестандартное. Тогда искомая вероятность p=P(A+B). События А и В несовместны, поэтому p=P(A)+P(B). Применяя частную теорему о повторении опытов, найдем:

Задача 2.

При установившемся технологическом процессе 80% всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 250 изделий.

РЕШЕНИЕ:

Подставляя соответствующие числа в неравенство получаем Поскольку может быть только целым числом, то