Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова

Теорема Чебышева легко может быть обобщена на более сложный случай, а именно когда закон распределения случайной величины от опыта к опыту не остается одним и тем же, а изменяется. Тогда вместо среднего арифметического наблюденных значений одной и той же величины с постоянными математическим ожиданием и дисперсией мы имеем дело со средним арифметическим различных случайных величин, с различными математическими ожиданиями и дисперсиям. Оказывается, что и в этом случае при соблюдения некоторых условий среднее арифметическое является устойчивым и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.

Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом. Если

независимые случайные величины с математическими ожиданиями

и дисперсиями

и если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом :

то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Запишем эту теорему в виде формулы. Пусть - сколь угодно малые положительные числа. Тогда при достаточно большом

. (13.4.1)

Доказательство. Рассмотрим величину

Ее математическое ожидание равно:

а дисперсия

Применим к величине неравенство Чебышева:

или

. (13.4.2)

Заменим в правой части неравенства (13.4.2) каждую из величин большей величиной . Тогда неравенство только усилится:

Как бы мало ни было , можно выбрать настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

;

тогда

откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство (13.4.1).

Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины. Обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин принадлежит А. А. Маркову.

Теорема Маркова. Если имеются зависимые случайные величины и если при

то среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий. Доказательство. Рассмотрим величину

Очевидно,