Основные свойства линейных, параметрических и нелинейных цепей

В данном курсе изучаются цепи с сосредоточенными параметрами. Для выявления основных свойств указанных цепей необходимо напомнить свойства описывающих эти цепи дифференциальных уравнений. Линейная цепь с постоянными параметрами состоит из линейных элементов, параметры которых не зависят от времени и протекающего через них тока или приложенного напряжения, и характеризуется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Линейная цепь с переменными параметрами характеризуется линейным дифференциальным уравнением, в котором по крайней мере один из коэффициентов является функцией времени. И, наконец, нелинейная цепь будет характеризоваться нелинейным дифференциальным уравнением, в котором хотя бы один из коэффициентов является функцией не только времени, но и самого сигнала.

Для определения свойств линейной цепи с постоянными параметрами запишем уравнение для тока i(t) в последовательном колебательном контуре, содержащем L, C, r и э.д.с. e(t):

(1.1)

Уравнение (1.1) является линейным, если коэффициенты L, r и 1/C не зависят от величины тока i, или, что то же самое, от величины внешней силы e(t). При выполнении этого условия напряжения на каждом из элементов контура линейно связаны с током:

(1.2)

Т.к. дифференцирование и интегрирование являются операциями линейными, можно утверждать, что u_L и u_C линейно связаны с током i при любом законе изменения последнего во времени. Для u_r это утверждение еще более очевидно.

Одним из проявлений линейности цепи является независимость соотношения между входными и выходными напряжениями (токами) от уровня входного напряжения (тока). В частности, при изменении тока по закону i = I sin wt получим:

(1.3)

Изменение амплитуды тока I в n раз дает такое же изменение амплитуды напряжения на элементах r, L, C. Это свойство линейных элементов можно толковать как результат линейности их вольт-амперных характеристик (зависимость амплитуды тока от амплитуды напряжения).

Другим важным свойством линейных цепей, также вытекающим из линейности соответствующего дифференциального уравнения, является выполнение принципа независимости (суперпозиции = наложения): при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определять путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждой из сил в отдельности. ИЛИ: В линейной цепи сумма эффектов от различных воздействий совпадает с эффектом от суммы воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от начальных запасов энергии.

Еще одно важное свойство линейных цепей с постоянными параметрами вытекает из теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Разложив e(t) в правой части уравнения (1.1) с помощью ряда или интеграла Фурье на простейшие гармонические составляющие, можно получить для каждой составляющей с частотой w_n решение уравнения (1.1) в виде гармонического колебания той же частоты:

i_n(t) = I_n cos (w_nt + j_n),

где I_n и j_n – постоянные амплитуда и фаза.

Отсюда следует, что при любом сколь угодно сложном воздействии в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает новых частот, т.е. ни одно из преобразований сигналов, сопровождающихся появлением новых частот (частот, отсутствующих в спектре входного сигнала), не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами.

Далее кратко рассмотрим свойства линейных цепей с переменными параметрами. Для них также выполняется принцип суперпозиции (наложения). Однако даже простейшее гармоническое воздействие создает в линейной цепи с переменными параметрами сложное колебание, имеющее спектр частот. Это можно пояснить следующим примером. Пусть к резистору, сопротивление которого изменяется во времени по закону R(t) = R₀ / (1 + M cos Wt), приложена гармоническая э.д.с. e(t) = E₀ cos wt.

Ток через сопротивление определится как:

i(t) = e(t)/R(t) = (E₀ /R₀) (1 + M cosWt) cos wt =

= (E₀/R₀) [cos wt + (M/2) cos (w + W)t +(M/2) cos (w - W)t].

Отсюда видно, в составе тока имеются компоненты с частотами (w ± W), которых нет в e(t), т.е. изменяя во времени сопротивление, можно осуществить преобразование спектра входного сигнала.

Рассмотрим, наконец, общие свойства нелинейных цепей. Из теории нелинейных дифференциальных уравнений известно, что при решении этих уравнений принцип наложения неприменим. Это свойство нелинейных цепей тесно связано с кривизной вольт-амперных характеристик нелинейных элементов (например, диода, рис.1.4, б). В отличие от вольт-амперной характеристики линейного резистора (рис.1.4, а) в данном случае между током и напряжением нет прямой пропорциональности.

а) б)

Рис. 1.4 - Вольт-амперные характеристики: а) - линейного резистора; б) - диода.

Неприменимость для нелинейных цепей принципа наложения делает непригодными спектральный и иные методы анализа, основанные на разложении сложного сигнала на составляющие.

Другим важным свойством нелинейной цепи является преобразование спектра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь простейшего гармонического сигнала в цепи, помимо основной частоты, возникают гармоники с частотами, кратными основной частоте. С точки зрения преобразования спектра сигнала следует подчеркнуть принципиальное различие между линейными параметрическими и нелинейными цепями. В линейной параметрической цепи структура спектра зависит только от формы входного сигнала, а в нелинейной – и от формы, и от амплитуды.

Основные радиотехнические процессы: генерация, модуляция, детектирование и преобразование частоты – сопровождаются трансформацией частотного спектра. Поэтому эти процессы можно осуществить с помощью либо нелинейных цепей, либо линейных, но с изменяющимися параметрами. В некоторых случаях используются одновременно как нелинейные, так и линейные параметрические цепи. Вообще, применение тех или иных цепей определяется рабочим диапазоном частот. Поэтому полная классификация радиотехнических цепей не может быть проведена в отрыве от используемых диапазонов частот.