Спектральный анализ периодических сигналов

Математической моделью процесса, циклически повторяющегося во времени, является периодический сигнал. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала в базисе гармонических функций. Сумма отдельных гармонических компонент сигнала образует его спектр.

Спектральное представление сигнала можно получить, используя разложение в ряд Фурье. Зададим на интервале времени [-T/2, T/2] полный ортогональный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами:

{sin nw₁t, cos nw₁t}, n = 0, 1, 2,... (2.12)

Произвольный сигнал s(t) можно разложить на заданном интервале в ряд по тригонометрическому базису, т.е. получить его спектральное представление (2.5). Данное разложение справедливо на всей бесконечной оси времени и называется тригонометрическим рядом Фурье:

(2.13)

где коэффициенты

(2.14)

Если колебание представляет собой функцию, четную относительно t, т.е. s (t) = s(-t), то в тригонометрической записи ряда (2.13) остаются только косинусоидальные члены, т.к. коэффициенты b_n в соответствии с формулой (2.14) обращаются в ноль. Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в ноль обращаются коэффициенты a_n и ряд состоит только из синусоидальных членов.

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит в себе не зависящую от времени постоянную составляющую, равную среднему значению сигнала на заданном интервале времени, и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами w_n = nw₁, n = 1, 2, 3,..., кратными основной частоте последовательности.

Любая гармоника ряда Фурье характеризуется амплитудой A_n и начальной фазой j_n, которые соответственно называются амплитудной и фазовой характеристиками периодического сигнала. Для этого коэффициенты ряда следует записать в виде:

a_n = A_n cos j_n; b_n = A_n sin j_n, а₀/2 = А₀;

так что

Подставив эти выражения в (2.13), можно получить другую, эквивалентную форму ряда Фурье:

(2.15)

которая иногда оказывается удобнее.

Графическое построение, наглядно интерпретирующее коэффициенты ряда Фурье для конкретного сигнала, называется спектральной диаграммой периодического сигнала. Различают амплитудные и фазовые диаграммы (рис. 2.1). Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, т.к. состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, w₁, w₂=2w₁, w₃=3w₁ и т.д.

A_n j_n

0 w₁ 2w₁ 4w₁ nw₁ w 0 w₁ 2w₁ 4w₁ 6w₁ w

a) б)

Рис. 2.1 – Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала:

а) - амплитудная; б) - фазовая

На практике чаще всего используют амплитудные диаграммы, позволяющие судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Основную формулу спектрального анализа периодических сигналов (2.13) можно записать в ином симметричном виде, если воспользоваться представлением гармонических функций в виде суммы экспонент с мнимыми показателями, применяя формулы Эйлера или изначально используя экспоненциальный базис:

(2.16)

Введем вместо a_n и b_n новые коэффициенты C_n = (a_n - jb_n)/2 для n = 1, 2, 3,.... Величины C_n можно определить и при отрицательных индексах n, причем С_-n = (a_n + jb_n)/2 = C_n*, т.е. является комплексно-сопряженной величиной по отношению к C_n, поскольку коэффициенты a_n и b_n соответственно четны и нечетны относительно индексов. Таким образом, суммирование в (2.16) можно распространить на все значения n, положительные и отрицательные:

(2.17)

Формула (2.17) является рядом Фурье в комплексной форме с коэффициентами:

/ С_n / = A_n/2. (2.18)

Спектральная диаграмма периодического сигнала, представленного в форме (2.17), будучи симметричной относительно начала отсчета частоты, содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, т.е. комплексный ряд есть продолжение или обобщение тригонометрического на эту область. Смысл понятия отрицательной частоты заключается в следующем. Вещественная функция (A_n cos nw₁t) из (2.15) после применения формул Эйлера может быть выражена как сумма проекций на горизонтальную ось ОХ двух векторов длиной A_n/2 = C_n, вращающихся с угловой частотой nw₁ во взаимно противоположных направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует слагаемому (A_n/2)exp(jnw₁t), т.е. положительной частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, слагаемому (A_n/2)exp(-jnw₁t) и отрицательной частоте. Складываясь, эти два комплексных числа образуют вещественное число. Таким образом, отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, обусловленное способом представления комплексных чисел.

Таким образом, тригонометрический и комплексный ряды Фурье можно рассматривать как два равноценных (равноправных) способа представления одного и того же ряда. Для анализа периодических сигналов используется разложение их в ряд Фурье, являющееся основной характеристикой сигнала в частотной области и позволяющее построить АЧХ (функцию четную по частоте) и нечетную по частоте ФЧХ данного сигнала.