Интеграл Мора для определения перемещений

Перемещение любой точки конструкции есть суммарная интегральная функция от произведения внутренних усилий, возникающих в сечениях в двух состояниях системы: действительном и возможном.

i P_i=1

i

Для изгибаемых конструкций интеграл Мора имеет вид:

При доказательстве теоремы Бетти мы рассмотрели две последовательности нарущения упругой конструкции и получили:

при этом

Следовательно, можно записать равенство:

Выразим отсюда взаимную работу:

Работы, стоящие в правой части, заменим потенциальными энергиями внутренних усилий (моментов), учитывая, что M(F₁,F₂)=M(F₁)+M(F₂)=M₁+M₂.

Взаимная работа выражается через обобщенную силу и обобщенное перемещение.

Применим в качестве I обобщенной силы возможную (отсутствующую в реальном времени) единичную силу s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>=1</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

В качестве II обобщенной силы принимаем заданные внешние нагрузки . Следовательно, ∆₁₂ – это действительное перемещение от внешних нагрузок по направлению возможной единичной силы:

Приравнивая правые части формул (*) и (**), получаем:

Эта формула носит название интеграла Мора для определения перемещений.

Здесь ∆_iF – действительное перемещение i точки конструкции в направлении единичной обобщенной силы, вызванное внешней нагрузкой; и изгибающий момент, возникающий в сечении Z от действия единичной силы t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>F</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>(Z)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> - изгибающий момент, возникающий в сечении Z от действия заданной внешней нагрузки .