Собственные колебания систем с n степенями свободы

Рассмотрим невесомую раму, несущую n сосредоточенных масс, имеющих по одной степени свободы. Отклоним конструкцию от состояния статического равновесия и предоставим ее самой себе. Каждая из масс начнет совершать сложное движение, складывающееся из n простых движений следующего вида:

P_ni P_nn

m_i m_n

P_n,2

m₂ P_n,1

m₁

Исследуем это движение.

Применим к движущейся системе принцип Даламбера, который позволяет заменить дифференциальные уравнения движения квазистатическими уравнениями равновесия. Приложим к каждой массе силу инерции

Как видно, сила инерции пропорциональна массе перемещению и квадрату частоты.

Вычислим перемещение по направлению степени свободы i массы, используя принцип суперпозиции:

Приведем подробные члены и разделим на квадрат частоты:

Раскрывая по всем i=1,2,…,n, получаем систему однородных алгебраических уравнений относительно перемещений.

(*)

Для получения нетривиального решения необходимо потребовать, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, обращался в ноль.

Раскрывая определитель, получаем алгебраическое уравнение n степени относительно величины .

Это уравнение называется уравнением частот, или вековым уравнением. В коэффициенты будут входить податливость и массы.

Решая уравнение, находим n действительных корней , и, следовательно, n различных частот колебаний .

Сложное движение каждой массы будет складываться из простых движений, соответствующих частотам колебаний.

Совокупность простых движений всех масс системы для какой-либо частоты колебаний определяет форму колебаний для этой частоты.

k форма колебаний.

Амплитудной формой колебаний называют такое отклонение системы от состояния равновесия, для которого . Каждая масса получает амплитудное перемещение , которое можно найти как результат действия системы максимальных сил инерции.

Чтобы определить амплитудную форму колебания конструкции, необходимо решить систему однородных уравнений, получаемых из (*).

(**)

Так как определитель равен нулю, то система имеет несчетное множество решений. Обычно ее решают с точностью до постоянного множителя, полагая и отбрасывая, как лишнее, последнее уравнение системы, которое используют для проверки.

Формы колебаний системы обладают свойством ортогональности:

Где - амплитуда массы при форме колебаний;

- то же при форме колебаний.

Если в системах уравнений (*) и (**) удается получить все побочные податливости равными нулю, т.е. при , то системы распадаются на n независимых уравнений и легко решается.

Такие формы колебаний называют главными формами колебаний. В этом случае система с n степенями свободы ведет себя как система с одной степенью свободы, что облегчает динамический расчет.

Рассмотрим два частных случая.