Пусть на отрезке задана функция и определена система функций .
Обобщенным многочленом (полиномом) порядка (степени ) относительно системы функций называют функцию вида
,
где - некоторые постоянные.
Обобщенный многочлен называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции , если расстояние от функции до многочлена по среднеквадратичной норме (среднеквадратичное отклонение) наименьшее, т. е.
- наименьшее. (3.1)
Задачу нахождения такого многочлена называют задачей об интегральном среднеквадратичном приближении (аппроксимации) функции на отрезке обобщенным многочленом. Задача сводится к нахождению коэффициентов из условия о наименьшем :
, k=0, 1, 2,…, n. (3.2)
Скалярное произведение функций и на отрезке :
.
Норма функции на отрезке :
.
Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением
,
где - коэффициенты Фурье, определяемые по формуле (3.2).
Пусть задана система тригонометрических функций
на отрезке . Для функции , интегрируемой с квадратом на отрезке , тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен
,
где , и - коэффициенты Фурье по тригонометрической системе функций, определяемые по формулам
,
,
.
Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующего многочлена от функции в данном случае выражается равенством
.
Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к норме аппроксимируемой функции , характеризует точность приближения и обозначается
.
Аппроксимация тригонометрическими многочленами предназначена для работы с аналитически заданными функциями.