Часто бывает полезно и наглядно изображать некоторую ситуацию в виде рисунка, состоящего из точек(вершин), представляющих основные элементы ситуации, и линий (ребер), соединяющих определенные пары этих вершин и представляющих связи между ними. Такие рисунки известны под общим названием графов.
Графы встречаются во многих областях под разными названиями:
- «структуры» в гражданском строительстве;
- «сети» в электротехнике;
- «социограммы» в социологии и экономике;
- «молекулярные структуры» в химии;
- электрические или газовые «распределительные сети» и т.д.
Благодаря своему широкому применению теория графов в последние годы интенсивно развивается. В большей мере этому способствует также прогресс в области развития вычислительной техники.
Таким образом, граф G задается множеством вершин х1, х2, …, xn (которое обозначается через Х) и множеством линий - ребер а1, а2, …, am (которое обозначается символом А), соединяющих между собой все или часть вершин.
Принято обозначать граф в виде G=(X,A).
|
|
Если ребра графа ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф в этом случае называется ориентированным.
Если ребра не имеют ориентацию, то граф называется неориентированным.
Граф, содержащий дуги и ребра, называется смешанным.
Если граф G=(X,A)является ориентированным, но мы хотим пренебречь направленностью дуг, то неориентированный граф, соответствующий первоначальному заданному, обозначают и называют неориентированным дубликатом (неориентированным двойником) графа G.
Каждая дуга графа соединяет пару вершин - начальную и конечную, следовательно, любую дугу можно обозначить упорядоченной парой вершин.
Например: для графа, изображенного на рисунке имеем:
а1=(х1 х2)
а2=(х2 х5)
а3=(х1 х3)
а4=(х3 х4)
а5=(х3 х5) и (х5 х3) или =(х3 х5)
а6=(х4 х5)
а7=(х2 х3)
Ориентированный граф можно задать множеством вершин и соответствий «Г» (гамма).
Соответствие Г(xi) представляет собой множество вершин xj ∈ X, для которых в графе G существует дуга (xi, xj)
Тогда для графа, изображенного на рисунке, имеем:
Г(х1)={х2, х3}
Г(х2)={х3, х5}
Г(х3)={х2, х3}
Г(х4)={х2}
Г(х5)={ х3}
Таким образом, для неориентированного графа или смешанного графа при составлении соответствия ребро заменяется двумя противоположно направленными дугами, соединяющими те же вершины.
Граф G в этом случае задается парой G=(Х,Г)
Обратное соответствие Г-1(xi) представляет собой множество вершин хj принадлежащих множеству х для которых в графе G существует дуга (xj, xi), т.е вершина Xi является конечной в рассматриваемых дугах.
Тогда для графа, изображенного на рисунке имеем:
Г-1(x1)- пустое множество
|
|
Г-1(x2)= {х1}
Г-1(x3)= {х1, х2, х5}
Г-1(x4)= {х3}
Г-1(x5)= {х2 , х3 , х4 }