Элементы теории напряженного состояния

Пусть задано твёрдое деформируемое тело и действующая на него нагрузка, т.е. в области ограниченной поверхностью тела задано напряженно- деформированное состояние (НДС) во всех точках. Можно показать [1-4], что в любой точке при заданном НДС существуют три взаимно ортогональные площадки, на которых нормальные напряжения принимают экстремальные значения, а касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называются главными площадками, а действующие на них экстремальные нормальные напряжения главными напряжениями.

На рис. 2.2а изображен элемент, вырезанный в окрестности некоторой точки деформируемого тела тремя парами взаимно ортогональных бесконечно близких плоскостей параллельных координатным (элементарный параллелепипед). На каждой грани этого элемента действуют нормальные и касательные напряжения (показаны составляющие полного касательного напряжения по координатным осям). Каждое напряжение помечено двумя индексами. Первый обозначает нормаль к площадке, второй – направление по которому напряжение действует (у нормальных напряжений оба индекса совпадут и потому оставляют один). Так касательное напряжение τ_xz на площадке, нормалью к которой является ось OX, действует в направлении оси OZ. Принятые на рисунке направления являются положительными.

Рис. 2.2 а – элементарный параллелепипед объемлющий точку А и компоненты напряженного состояния на его гранях:

б – полные напряжения, в - их компоненты в выбранной системе координат XYZ.

Рис. 2.3 Элементарный параллелепипед, ориентированный по главным направлениям и главные напряжения, а – одноосное, б – двухосное и в – пространственное напряженные состояния.

На рис.2.3 в изображен аналогичный элемент, взятый в окрестности той же

точки, но ограниченный парами главных площадок. На его гранях действуют только главные (экстремальные) нормальные напряжения σ₁, σ₂, σ₃, причём σ₁> σ₂> σ₃. Нормали к главным площадкам (главные оси) образуют ортогональную систему координат (главные координаты). В произвольной системе координат (рис 2.2а) напряженное состояние в точке определяется

9-ю векторами напряжений, так называемыми компонентами тензора напряжений, из которых в силу закона парности касательных напряжений τ_xy=τ_yx; τ_yz=τ_zy ; τ_xz=τ_zx независимы только 6. Для записи тензора напряжений используют матричную форму:

(2.4)

Здесь Т_н – обозначение тензора напряжений. В главных осях тензор напряжений примет вид:

(2.5)

Существуют формулы, по которым компоненты тензора напряжений преобразуются при переходе из одной система координат в другую [13].

Зависимости теории напряженного состояния записываются через главные напряжения (в главных осях) наиболее просто [13], подобно тому, как уравнение эллипса приобретает наиболее простой (канонический) вид в координатных осях, совпадающих с его осями симметрии, что, кстати, (поиск канонических форм) является одной из основных задач аналитической геометрии.

Виды напряжённых состояний.

Одноосное (линейное) напряженное состояние (рис. 2.3 а) - частный случай, когда два главных напряжения равны нулю: σ₂ = σ₃ = 0, σ₁>0 (чистое растяжение) или σ₁ = σ₂ = 0, σ₃<0 (чистое сжатие).

Тензоры напряжений соответственно имеют вид

(2.6) (2.7)

Двухосное (плоское) напряженное (аббревиатура - ПНС) состояние (рис.2.3 б) - одно из главных напряжений равно нулю. Для него запишем тензор напряжений (2.8) только для случая, когда σ₁>0, σ₂>0, σ₃=0.

Другие комбинации предлагается рассмотреть самостоятельно. На практике, работая с ПНС о “нулевом” напряжении “как бы забывают” и записывают (2.9).

(2.8); (2.9)

Плоское или близкое к нему НДС возникает в тонкостенных конструкциях, в том числе корпусах судов. Ввиду практической важности данного вида напряженного состояния, основные его зависимости рассмотрены в Приложении 1.