Интенсивность внутренних сил. Механические напряжения

Для определения интенсивности внутренних сил в окрестности точки С рассмотрим малую площадку Δ А, её включающую (рис. 2.1). На площадку

Δ А придется некоторая часть этих сил с главным вектором ΔR. Главный момент ΔM будет величиной высшего порядка малости по сравнению с ΔR (точнее ΔR*α, где α порядка размеров площадки в плане) и им обычно пренебрегают (исключение – так называемая моментная теория упругости, исследующая быстроменяющиеся поля напряжений, например у острия трещин). Кроме того, вектор разложим на нормальную Δ N и касательную ΔT к площадке составляющие. Запишем отношения

p =ΔR / ΔА,

σ =ΔN / ΔA, (2.3)

τ =ΔT / ΔA,

где p, σ, и τ – средние на площадке ΔА полное, нормальное и касательное механические напряжения. В дальнейшем слово механическое будем опускать. Как следует из (2.1) размерность напряжений - единица силы, отнесённая к единице площади. В системе СИ это 1Н/1м² или 1 Паскаль (1Па). Таким образом, напряжения в твёрдых телах и давление в жидкости и в газе величины родственные. Но между ними есть существенное различие. Гидростатическое давление всегда направлено по нормали к поверхности и не меняется при изменении ориентации площадки (закон Паскаля), т.е. вектор. Напряжения в общем случае, имеют и нормальную и касательную составляющие и при одном и том же напряженном состоянии (фиксированы точка тела и нагрузка) зависят от ориентации площадки (более сложный физический и математический объект - тензор).

Оценим практически давление или напряжение в 1Па. В быту мы стихийно используем старую единицу силы технической системы единиц физических величин – 1 килограмм сила (кгс). Это сила земного притяжения действующая на массу 1кг., т.е. 9,81 Н. Таким образом, 1Н приблизительно равен 0,1 кгс (порядка веса небольшой тонкой скатерти), а 1м² близок к площади небольшого стола. Ясно, что напряжения контакта стола и скатерти несущественны для любого конструкционного материала. Поэтому в технике используют кратные единицы – килопаскали (1КПа=10³Па) и мегапаскали

(1МПа=10⁶Па). Для сравнения, предел прочности разных сортов стали на разрыв 400-1700 МПа, 1МПа=100м. водяного столба=10ат (атмосфер технических, 1ат=1кгс/см²). Последние в отечественной технической литературе использовались до1978г. Учитывая, что 1Н/1мм²=1МПа, удобно размеры конструкции брать в миллиметрах, а нагрузки в ньютонах и автоматически получать напряжения в мегапаскалях.

Анекдот из собственной практики преподавания.

Экзамен по сопромату. Студентка упорно молчит. Сочувствую, пытаюсь её «вытянуть». Задаю элементарный вопрос: «Что такое напряжения?». Как язык проглотила. Задаю наводящий вопрос: «В чём напряжения измеряются?». Молчит как партизан. Начинаю раздражаться и со скрытой издёвкой: «В вольтах?». В моей интонации барышня чувствует подвох: «В омах» отвечает.

Остаётся открытым вопрос о «малости» площадки. Один м² великоват для технических сооружений, но подойдёт для исследования напряжений в горных массивах. Напряженное состояние в крупных деталях конструкций хорошо было бы описано через каждый см², а средних через мм². Для деталей наручных часов мм² слишком велик. Выход в переходе к пределам, когда вышеупомянутая площадка ΔА «стягивается» вокруг точки С, т.е. ΔА → 0.

(2.4)

Здесь p, σ, и τ соответственно полные, нормальные и касательные напряжения в точке С.