Уравнения, допускающие понижение порядка

одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является ме-тод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью заме-ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть дано уравнение

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у^'=р(х). Тогда у^''=p^'(x) и получаем ДУ первого порядка: p^'=ƒ(х). Решив его, т. е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение y^'=р(х). Получим общее решение заданного уравнения (3.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.

Так как уравнение (3.6) можно записать в виде dy^'=ƒ(х) dx. Тогда, интегрируя уравнение y^''=ƒ(х), получаем: y^'= или y^'=j1 (x)+с₁. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: - общее решение данного уравнения. Если дано уравнение то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения:

Пример 3.1. Решить уравнение

Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

Пусть дано уравнение

не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у^'=р, где р=р(х) - новая неизвестная функция. Тогда у^''=p^' и уравнение (3.7) принимает вид p^'=ƒ(х;р). Пусть р=j(х;с₁) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на y_', получаем ДУ: y_'=j(х;с₁). Оно имеет вид (3.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (3.7) будет иметь вид

Частным случаем уравнения (3.7) является уравнение

не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: Получаем уравнение р'=ƒ(р) с разделяющимися переменными. Если задано уравнение вида

которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив y^(к)=р(х). Тогда у^(к+1)=p^';...; y⁽ⁿ⁾=p^(n-k)и уравнение (3.9) примет вид F(x;p;p^';...;p^(n-κ))=0. Частным случаем уравнения (3.9) является уравнение

или

С помощью замены y^(n-1)=p(x), y⁽ⁿ⁾=p^' это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример 3.2. Решить уравнение

Решение: Полагаем у'=р, где Тогда Это уравнение с разделяющимися переменными: Интегрируя, получим Возвращаясь к исходной переменной, получим y'=с₁^х_,

- общее решение уравнения.

III. Рассмотрим уравнение

которое не содержит явно независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(y), зависящую от переменной у, полагая у'=р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р =р(у(х)):

т. е. Теперь уравнение (3.10) запишется в виде

Пусть р=j(y;с₁) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(y) на y', получаем y'=j(y;с₁) - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (3.10):

Частным случаем уравнения (3.10) является ДУ

Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у^'=p(у),

Так же поступаем при решении уравнения F(у; у^'; у'';...; у⁽ⁿ⁾)=0. Его порядок можно понизить на единицу, положив y'=р, где р=р(y). По правилу дифференцирования сложной функции находим Затем найдем

Замечание. Уравнение (3.8) также можно решать, применяя подстановку у'=р, где р=р(y).

Пример 3.3. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение: Уравнение имеет вид (3.10). Положив получаем: Так как р≠0 (иначе у'=0, что противоречит начальному условию у'=2), то - получили линейное ДУ первого порядка.