2015-04-30
1595
Наряду со средними величинами в статистике исчисляются показатели вариации. Вариацией в статистике называются различия индивидуальных значений изучаемого признака. Возникает вариация в силу того, что отдельные значения признака статистической совокупности формируются под воздействием разнообразных факторов. Значение изучения вариации в том, что по колеблемости признаков можно судить о качественной однородности совокупности. Совокупности могут иметь одинаковые значения средней величины, но отличаться колеблемостью индивидуальных значений.
Например: По имеющимся данным о дневной выработке рабочих двух бригад определить среднюю выработку рабочего за день в каждой бригаде, сделать вывод об однородности рассматриваемых совокупностей и надёжности их средних.
Выработка в первой бригаде: 31, 25, 30, 26, 28 деталей.
Выработка во второй бригаде: 27, 20, 56, 19, 18 деталей.
Решение:
Исходные данные не сгруппированы, поэтому для расчёта средней выработки применяем среднюю арифметическую простую. Средняя дневная выработка рабочего:
|
|
|
в первой бригаде 
во второй бригаде 
Среднедневная выработка рабочего в обеих бригадах одинакова, но индивидуальные значения выработки во второй бригаде подвержены значительным колебаниям. Это вызывает необходимость измерять вариацию.
К абсолютным показателям вариации относятся
размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Элементарным показателем колеблемости является размах вариации, который определяется как разность между наибольшим и наименьшим значением признака: R=Хmax - Xmin
В нашем примере размах вариации индивидуальной выработки:
в первой бригаде R1 =31-25=6 деталей
во второй бригаде R2 =56-18=38 деталей
Сравнение этих показателей свидетельствует о том, что размах вариации индивидуальной выработки во второй бригаде на 32 детали больше, чем в первой бригаде. Однако размах вариации не улавливает колеблемости вариантов внутри изучаемой совокупности. Для получения обобщающей характеристики колеблемости всех вариантов совокупности исчисляются другие показатели вариации.
Среднее линейное отклонение даёт обобщённую характеристику степени колеблемости признака в совокупности относительно среднего уровня признака и рассчитывается как средняя арифметическая из индивидуальных линейных отклонений по формуле:
- для невзвешенных данных 
- для взвешенных данных 
где 
- индивидуальное линейное отклонение.
Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируют состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов; разрабатывают системы материального стимулирования. Но этот показатель усложняет расчёты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.
|
|
|
В статистике дисперсия, центральный момент второго порядка, является оценкой одноимённого показателя теории вероятностей и оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать теоретические положения этих дисциплин для анализа социально – экономических процессов. На дисперсии практически основаны все метод математической статистики. Большое значение имеет правило сложения дисперсий. Дисперсия рассчитывается как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от среднего
значения признака по формуле:
- для невзвешенных данных 
- для взвешенных данных 
Среднее квадратическое отклонение является обобщающей характеристикойразмеров вариации признака совокупности.Это - мера вариации, показатель надёжности средней. Чем меньше значение среднего квадратического отклонения, тем лучше средняя величинапредставляет собой рассматриваемую совокупность.Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле: 
Для расчёта показателей вариации в нашем примере строим вспомогательную таблицу:
| Первая бригада | Вторая бригада | ||||
| Выработка,деталей (Хi ) | Индивидуальное линейное отклонение 
| 
| Выработка, деталей (Хi ) | Индивидуальное линейное отклонение
|
|
| |-3| | |-10| | ||||
| |-2| | |-9| | ||||
| |-8| | |||||
| |-1| | |||||
| Итого: |
Среднее линейное отклонение:
в первой бригаде 
; во второй бригаде 
.
Дисперсия:
в первой бригаде 
; во второй бригаде 
.
Среднее квадратическое отклонение:
в первой бригаде 
; во второй бригаде 
Таким образом, выполненные нами расчёты показывают, что колеблемость индивидуальных значений выработки во второй бригаде намного выше, чем в первой бригаде.
Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях исчисляют показатели вариации в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической (реже к медиане). Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределения близкого к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации:
Коэффициент осцилляции (vR) рассчитывается по формуле:
и отражает относительную меру колеблемости крайних значений признака вокруг средней.
Линейный коэффициент вариации (vd) рассчитывается по формуле: 
и отражает долю усреднённого значения абсолютных отклонений от средней величины.
Коэффициент вариации (vσ ) как относительное квадратическое отклонение от средней величины рассчитывается по формуле:
Рассчитаем относительные показатели вариации для нашего примера.
