Формула общего решения неоднородного ЛДУ

Рассмотрим неоднородное ЛДУ второго порядка

(2.1)

и выведем формулу общего решения неоднородного ЛДУ второго порядка

Теорема 2.4 Пусть некоторое частное решение неоднородного ЛДУ (2.1), а ФСР однородного ЛДУ (2.2). Тогда общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид

(2.6)

Таким образом, чтобы найти общее решение неоднородного ЛДУ нужно дополнительно к общему решению однородного ЛДУ добавить какое –нибудь частное решение неоднородного ЛДУ.

Доказательство. Как всегда вначале докажем, что является

решением неоднородного . Действительно

Мы доказали, что является решением неоднородного

Докажем теперь, что оно содержит все решения неоднородного , то есть является общим решением. Пусть произвольное решение неоднородного ЛДУ (2.1). Определим, решением какого уравнения являются функции . Подставляя в левую часть ЛДУ получаем

То есть .

Таким образом, чтобы найти общее решение неоднородного ЛДУ (2.1) нужно найти

ФСР однородного ЛДУ и любое частное решение неоднородного ЛДУ.

Напомним правило вычисления корней любого квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение . По теореме Виета

Этот парадокс объясняется тем, что корни не являются обычными числами. Для них

вводится новое название-«комплексные числа». Напомним понятие- «мнимая единица».

Мнимая единица обозначается буквой i и её квадрат равен , . Отсюда

.

Определение 2.6. Если комплексное число, то действительная часть, а мнимая часть данного комплексного числа.

Рассмотрим примеры. Пусть требуется решить квадратное уравнение

1)

Извлекая из обеих частей квадратные корни, получаем

корни комплексные.

2)

корни действительные различные.

3)

корни действительные равные. Других случаев при решении квадратных уравнений не существует.

Далее рассмотрим правила нахождения общих решений ЛДУ (2.1) и (2.2) для случаев, когда

коэффициенты уравнения являются числами.