Локальная теорема Лапласа

Вычисление P_n (k) по формуле Бернулли при больших n и k связаны с арифметическими трудностями, поэтому при n > 50 пользуются приближенной формулой Муавра-Лапласа:

, . (36)

Значения p и q имеют тот же смысл, что и в формуле Бернулли.

– функция вероятностей; j(x) = j(– x).

Значения функции j(x) приведены в прил. 1.

Пример 1.28. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем выпадет 267 раз?

Решение. Вероятность выпадения числа очков, кратное трем равна , . По локальной формуле Лапласа (36) находим:

, .

По таблице значений (прил. 1) определяем j(0,025) = 0,3989, P ₈₀₀(267) = 0,03.

Пример 1.29. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Какова вероятность того, что из 100 телевизоров 96 отработают гарантийный срок?

Решение. Вероятность нарушения работы кинескопа q = 0,12, поэтому вероятность нормальной работы кинескопа равна p = 1 – 0,12 =
= 0,88. Вероятность того, что из 100 телевизоров 96 будут работать составит:

, .

Пример 1.30. Автоматическая штамповка деталей дает 10 % отклонений от принятого стандарта. Какое количество стандартных деталей следует ожидать из 400 деталей, если вероятность их появления равна 0,0587?

Решение. Обозначим через k число стандартных деталей во всей партии. Так как вероятность появления стандартной детали p = 0,9, а брака q = 0,1, то по теореме Лапласа имеем:

Из полученного уравнения j(x) = 0,0587 · 6 = 0,3522. По таблице прил. 1 найденному значению функции j(x) = 0,3522 соответствует значение аргумента, равное x = 0,5.

; .