Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1)

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности) рассчитывается по формуле Бернулли:

, (28)

где q = 1 – p.

Вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз; д) хотя бы один раз, находят соответственно по формулам

а) ; (29)

б) ; (30)

в) ; (31)

г) ; (32)

д) . (33)

. (34)

Пример 1.25. Монету бросают 5 раз. Какова вероятность того, что: а) герб выпал два раза; б) выпало более одного герба?

Решение. Пусть событие A – «выпадение герба при отдельном испытании», тогда

; .

а) по формуле Бернулли:

.

б) B – событие, что выпало более одного герба.

Пример 1.26. Фабрика выпускает 70 % продукции высшего сорта. Покупатель приобрел 5 изделий, изготовленных на данной фабрике. Какова вероятность того, что 2 из них – высшего сорта?

Решение. Обозначим через A – «приобретено изделие высшего сорта». Тогда p = 0,7, q = 1 – 0,7 = 0,3.

Вероятность того, что из пяти изделий 2 – высшего сорта, равна

.