2015-04-20
843
33. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x),то 
= …
34. Производная от интеграла 
равна …
35. Дифференциал от интеграла 
равен …
36. Интеграл 
равен …
37. Если 
, то 
…
38. Если функция 
первообразная функции 
, то функция f(x) равна
39. Если 
, то ее первообразная 
равна …
40. Чему равен интеграл 
…
41. Чему равен интеграл 
…
42. 
. Тогда k = …
43. 
. Тогда k = …
44. Найдите интегралы: а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
45. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
.
46. Какое из выражений целесообразно принять за U при интегрировании по частям интеграла: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
47. Какое из выражений целесообразно принять за dV при интегрировании по частям интеграла: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
48. Если F(x) является первообразной функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница …
49. Вычислить определенные интегралы: а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
50. Вычислить определенные интегралы методом замены переменной:
а) 
; б) 
; в) 
51. Вычислить определенные интегралы интегрированием по частям:
а) 
; б) 
; в) 
.
|
|
|
52. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = х3, у = 0, х = 1;
б) у = х2, у = 1, х = 0.
Образцы решения задач:
1. Вычислить определитель 2-го порядка
.
РЕШЕНИЕ:
Вычисление определителя 2-го порядка проводится по формуле:
, поэтому для нашей задачи имеем:
2. Вычислить определитель 3-го порядка, пользуясь правилом треугольника
.
РЕШЕНИЕ
Вычисление определителя 3-го порядка по правилу треугольника проводится по схеме
3. Вычислить определитель 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки
.
РЕШЕНИЕ
Вычисление определителя 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки проводится по следующей формуле:
где 
— алгебраические дополнения элементов 
в данном определителе:
, а 
— миноры, соответствующие элементам определителя, которые являются определителями второго порядка, получаемые из данного определителя путем вычеркивания строки i и столбца j.
Следовательно, мы имеем:
4. Найти произведение двух матриц A и B, если
.
РЕШЕНИЕ
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Рассмотрим на примере:
В нашем случае имеем:
5. Найти матрицу 
, обратную для матрицы A, где
.
РЕШЕНИЕ
Обратная матрица находится по следующей формуле:
, где 
союзная матрица к матрице 
, а 
определитель, составленный из элементов данной матрицы. Подставляя, получаем: 
. В нашем случае:
1. Находим определитель данной матрицы:
, следовательно обратная матрица существует.
2. Находим союзную матрицу к матрице 
, т.е. 
. Для этого найдем алгебраические дополнения элементов 
в данной матрице (см. пример № 3):
|
|
|
; 
;
; 
.
Получаем:
3. Подставляем полученные результаты в формулу и находим обратную матрицу : 
.
6. Найти длину вектора 
, если А (1;2;3), В (4;6;3).
РЕШЕНИЕ
Для нахождения длины заданного вектора вначале найдем его координаты по формуле 
, где 
. Затем по формуле 
, где 
координаты вектора 
, найдем его длину. В нашем случае получаем:
, тогда, подставляя координаты в формулу нахождения длины вектора, получаем:
7. Вычислить скалярное произведение векторов 
.
РЕШЕНИЕ
Для вычисления скалярного произведения векторов пользуются следующей формулой:
,где 
координаты вектора 
, а 
координаты вектора 
. В нашем случае получаем:
8. Найти 
между векторами 
.
РЕШЕНИЕ
Для того, чтобы найти косинус угла между векторами воспользуемся следующей формулой:
где в числителе стоит скалярное произведение данных векторов (см. пример №7), а в знаменателе произведение их длин (см. пример №6). Найдем вначале скалярное произведение данных векторов:
Теперь найдем их длины:
.
Подставляем найденные значения в формулу:
9. Написать общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки А (2;-1) и В (-3;2).
РЕШЕНИЕ
Общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки, имеет вид:
, где 
координаты одной из точек, а 
другой.
В нашем случае это уравнение примет вид:
отсюда, воспользовавшись свойством пропорции, получим: 
, выразим из этого равенства 
:
уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки.
10. Найти точку пересечения двух прямых на плоскости, заданных общими уравнениями:
.
РЕШЕНИЕ
Для нахождения точки пересечения двух прямых, нужно составить систему из их общих уравнений и решить ее относительно 
.
Полученные значения и будут координатами точки пересечения данных прямых. В нашем случае получается:
Для решения данной системы умножим первое уравнение на 
, а второе на 
:
Теперь сложим почленно первое и второе уравнения:
Получили линейное уравнение, найдем из него :
.
Чтобы найти 
подставим в любое из исходных уравнений, ну, например, во второе:
Приведем подобные члены и выразим :
Тогда точка пересечения данных прямых имеет следующие координаты: 
.
11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-1) параллельно вектору 
.
РЕШЕНИЕ
Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
, параллельно заданному вектору 
записывается в виде:
В нашем случае, получаем:
Отсюда получаем:
;
искомое уравнение
12. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-1) перпендикулярно вектору 
.
РЕШЕНИЕ
Уравнение прямой, проходящей через данную точку , перпендикулярно заданному вектору 
, записывается в виде:
В нашем случае получаем следующее уравнение:
, раскроем скобки и приведем подобные члены
искомое уравнение.
13. Вычислить пределы:
РЕШЕНИЕ
a) 
. При решении данного предела возникает неопределенность вида 
. Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на 
:
б) 
При решении данного предела возникает неопределенность вида 
. Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на 
:
в) 
при решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности, разделим числитель и знаменатель дроби на 
:
Так как предел числителя равен 1, а в знаменателе стоит бесконечно малая при 
14. Вычислить пределы:
РЕШЕНИЕ
a) 
при решении данного предела возникает неопределенность вида 
.
Чтобы избавиться от неопределенности, можно поступить следующим образом:
1 способ. Обозначим 
тогда при 
. Подставляя, получаем:
2 способ. Заметим, что при 
функция 
является бесконечно малой (б.м.), следовательно, ее можно заменить эквивалентной, т.е. получаем, что 
. Подставляя в наш предел, получаем:
|
|
|
б) 
15. Найти производные следующих функций:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
.
РЕШЕНИЕ
а) Для нахождения данной производной воспользуемся формулой отыскания производной степенной функции 
и производной разности 
. В нашем случае имеем:
;
б) Воспользуемся свойством корня n – ой степени: 
. Тогда получаем: 
. Для нахождения производной воспользуемся формулой 
.
Значит 
.
в) Воспользуемся формулой для нахождения производной представленной в пункте а), учитывая, что: 
.
Тогда получаем:
г) 
. Обратим внимание, что это сложная функция.
.
д) Здесь нам понадобиться формула нахождения производной тригонометрической функции 
и степенной функции (см. пример №15а).
.
е) Здесь нам понадобиться формула нахождения производной тригонометрической функции 
и степенной функции (см. пример №15а).
16. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
а) 
б) 
в) 
РЕШЕНИЕ
Согласно правилу Лопиталя:
Для неопределенностей вида 
.
Тогда в нашем случае:
а) 
б) 
в) 
17. Найти интервалы возрастания и убывания следующих функций:
а) 
б) 
РЕШЕНИЕ
Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции используется следующий алгоритм:
1. Находим область определения функции 
;
2. Находим производную заданной функции;
3. Приравниваем производную к нулю и находим корни получившегося уравнения;
4. При помощи найденных корней разбиваем нашу область определения на интервалы и находим знак производной на каждом из них;
5. Если производная на интервале знакопостоянства меньше ноля то функция на этом интервале убывает, и наоборот – если производная больше 0, то функция на этом интервале возрастает.
Для наших примеров:
а)
Следуя алгоритму получаем:
1. 
2. 
3. 
+ 1,5 --
4. Таким образом, получаем, что наша функция возрастает на интервале 
, а убывает на интервале 
.
б) 
Следуя алгоритму получаем:
1.
2. 
3. 
4. 
2 +
Таким образом, получаем, что наша функция возрастает на итервале
, а убывает на интервале 
.
18. Исследовать на экстремум следующие функции:
|
|
|
а) 
б) 
РЕШЕНИЕ
Схема исследования на экстремум функции одной переменной:
1. Найти область определения;
2. Найти 
3. Найти критические точки, т.е. значения аргумента, при которых производная 
или не существует;
4. Критическими точками разбить область определения на интервалы знакопостоянства и установить знак производной в каждом интервале;
5. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), то в этой критической точке максимум, если 
меняет знак с (-) на (+), то в этой критической точке минимум. Если не изменяет знак, то данная критическая точка не является экстремальной.
Для наших примеров:
а)
Следуя алгоритму получаем:
1.
2. 
при любом . Дальнейшее исследование нецелесообразно, т.к. функция является монотонно возрастающей на всей области определения R.
б) 
Следуя алгоритму получаем:
1.
2. 
3. 
;
4. + 1 5 +
5. В критической точке 
находится максимум функции, а в критической точке 
– минимум функции.
19. Вычислить неопределенные интегралы:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
РЕШЕНИЕ
а) Это табличный интеграл и находится он по следующей формуле:
Тогда для нашего случая имеем:
б) 
в) 
г) 
д) 
20. Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить определенные интегралы:
а) 
б) 
в) 
РЕШЕНИЕ
Формула Ньютона – Лейбница имеет вид:
где 
В нашем случае получаем:
21. Найти частные производные первого порядка от следующих функций:
а) 
б) 
в) 
РЕШЕНИЕ
Частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции 
находятся по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом другая переменная, соответственно или считается постоянной величиной).
В нашем случае имеем:
а)
б)
в) 
;
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Гурский, Е. Н. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии. 2-е изд. доп. – Минск: Выш. шк., 1982. – 272 с.
2. Жевняк, Р. М. Высшая математика. / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Выш.шк., 1984 – 1988. – Ч.1 – 384 с.
3. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985 – Т. 1 – 456 с.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009.
4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / под ред. А. П. Рябушко. – Минск: Выш. шк., 1990 – 1991. – Ч.1 – 270 с.
