Неопределенный и определенный интегралы

3 4 5 6 7 8 9

33. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x),то = …

34. Производная от интеграла равна …

35. Дифференциал от интеграла равен …

36. Интеграл равен …

37. Если , то …

38. Если функция первообразная функции , то функция f(x) равна

39. Если , то ее первообразная равна …

40. Чему равен интеграл …

41. Чему равен интеграл …

42. . Тогда k = …

43. . Тогда k = …

44. Найдите интегралы: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

45. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

46. Какое из выражений целесообразно принять за U при интегрировании по частям интеграла: а) ; б) ; в) ; г) .

47. Какое из выражений целесообразно принять за dV при интегрировании по частям интеграла: а) ; б) ; в) ; г) .

48. Если F(x) является первообразной функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница …

49. Вычислить определенные интегралы: а) ; б) ;

в) ; г) .

50. Вычислить определенные интегралы методом замены переменной:

а) ; б) ; в)

51. Вычислить определенные интегралы интегрированием по частям:

а) ; б) ; в) .

52. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = х³, у = 0, х = 1;

б) у = х², у = 1, х = 0.

Образцы решения задач:

1. Вычислить определитель 2-го порядка

РЕШЕНИЕ:

Вычисление определителя 2-го порядка проводится по формуле:

, поэтому для нашей задачи имеем:

2. Вычислить определитель 3-го порядка, пользуясь правилом треугольника

РЕШЕНИЕ

Вычисление определителя 3-го порядка по правилу треугольника проводится по схеме

3. Вычислить определитель 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки

РЕШЕНИЕ

Вычисление определителя 3-го порядка методом разложения по элементам второй строки проводится по следующей формуле:

где — алгебраические дополнения элементов в данном определителе:

, а — миноры, соответствующие элементам определителя, которые являются определителями второго порядка, получаемые из данного определителя путем вычеркивания строки i и столбца j.

Следовательно, мы имеем:

4. Найти произведение двух матриц A и B, если

РЕШЕНИЕ

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Рассмотрим на примере:

В нашем случае имеем:

5. Найти матрицу , обратную для матрицы A, где

РЕШЕНИЕ

Обратная матрица находится по следующей формуле:

, где союзная матрица к матрице , а определитель, составленный из элементов данной матрицы. Подставляя, получаем: . В нашем случае:

1. Находим определитель данной матрицы:

, следовательно обратная матрица существует.

2. Находим союзную матрицу к матрице , т.е. . Для этого найдем алгебраические дополнения элементов в данной матрице (см. пример № 3):

; ;

; .

Получаем:

3. Подставляем полученные результаты в формулу и находим обратную матрицу : .

6. Найти длину вектора , если А (1;2;3), В (4;6;3).

РЕШЕНИЕ

Для нахождения длины заданного вектора вначале найдем его координаты по формуле , где . Затем по формуле , где координаты вектора , найдем его длину. В нашем случае получаем:

, тогда, подставляя координаты в формулу нахождения длины вектора, получаем:

7. Вычислить скалярное произведение векторов

РЕШЕНИЕ

Для вычисления скалярного произведения векторов пользуются следующей формулой:

,где координаты вектора , а координаты вектора . В нашем случае получаем:

8. Найти между векторами .

РЕШЕНИЕ

Для того, чтобы найти косинус угла между векторами воспользуемся следующей формулой:

где в числителе стоит скалярное произведение данных векторов (см. пример №7), а в знаменателе произведение их длин (см. пример №6). Найдем вначале скалярное произведение данных векторов:

Теперь найдем их длины:

Подставляем найденные значения в формулу:

9. Написать общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки А (2;-1) и В (-3;2).

РЕШЕНИЕ

Общее уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки, имеет вид:

, где координаты одной из точек, а другой.

В нашем случае это уравнение примет вид:

отсюда, воспользовавшись свойством пропорции, получим: , выразим из этого равенства :

уравнение прямой на плоскости, проходящей через две данные точки.

10. Найти точку пересечения двух прямых на плоскости, заданных общими уравнениями:

РЕШЕНИЕ

Для нахождения точки пересечения двух прямых, нужно составить систему из их общих уравнений и решить ее относительно .

Полученные значения и будут координатами точки пересечения данных прямых. В нашем случае получается:

Для решения данной системы умножим первое уравнение на , а второе на :

Теперь сложим почленно первое и второе уравнения:

Получили линейное уравнение, найдем из него :

Чтобы найти подставим в любое из исходных уравнений, ну, например, во второе:

Приведем подобные члены и выразим :

Тогда точка пересечения данных прямых имеет следующие координаты: .

11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-1) параллельно вектору .

РЕШЕНИЕ

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , параллельно заданному вектору записывается в виде:

В нашем случае, получаем:

Отсюда получаем:

;

искомое уравнение

12. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;-1) перпендикулярно вектору .

РЕШЕНИЕ

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , перпендикулярно заданному вектору , записывается в виде:

В нашем случае получаем следующее уравнение:

, раскроем скобки и приведем подобные члены

искомое уравнение.

13. Вычислить пределы:

РЕШЕНИЕ

a) . При решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на :

б) При решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на :

в) при решении данного предела возникает неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности, разделим числитель и знаменатель дроби на :

Так как предел числителя равен 1, а в знаменателе стоит бесконечно малая при

14. Вычислить пределы:

РЕШЕНИЕ

a) при решении данного предела возникает неопределенность вида .

Чтобы избавиться от неопределенности, можно поступить следующим образом:

1 способ. Обозначим тогда при . Подставляя, получаем:

2 способ. Заметим, что при функция является бесконечно малой (б.м.), следовательно, ее можно заменить эквивалентной, т.е. получаем, что . Подставляя в наш предел, получаем:

б)

15. Найти производные следующих функций:

а)

б)

в)

г)

д)

е) .

РЕШЕНИЕ

а) Для нахождения данной производной воспользуемся формулой отыскания производной степенной функции и производной разности . В нашем случае имеем:

;

б) Воспользуемся свойством корня n – ой степени: . Тогда получаем: . Для нахождения производной воспользуемся формулой .

Значит .

в) Воспользуемся формулой для нахождения производной представленной в пункте а), учитывая, что: .

Тогда получаем:

г) . Обратим внимание, что это сложная функция.

д) Здесь нам понадобиться формула нахождения производной тригонометрической функции и степенной функции (см. пример №15а).

е) Здесь нам понадобиться формула нахождения производной тригонометрической функции и степенной функции (см. пример №15а).

16. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

а)

б)

в)

РЕШЕНИЕ

Согласно правилу Лопиталя:

Для неопределенностей вида .

Тогда в нашем случае:

а)

б)

в)

17. Найти интервалы возрастания и убывания следующих функций:

а)

б)

РЕШЕНИЕ

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции используется следующий алгоритм:

1. Находим область определения функции ;

2. Находим производную заданной функции;

3. Приравниваем производную к нулю и находим корни получившегося уравнения;

4. При помощи найденных корней разбиваем нашу область определения на интервалы и находим знак производной на каждом из них;

5. Если производная на интервале знакопостоянства меньше ноля то функция на этом интервале убывает, и наоборот – если производная больше 0, то функция на этом интервале возрастает.

Для наших примеров:

а)

Следуя алгоритму получаем:

+ 1,5 --

4. Таким образом, получаем, что наша функция возрастает на интервале , а убывает на интервале .

б)

Следуя алгоритму получаем:

4. 2 +

Таким образом, получаем, что наша функция возрастает на итервале

, а убывает на интервале .

18. Исследовать на экстремум следующие функции:

а)

б)

РЕШЕНИЕ

Схема исследования на экстремум функции одной переменной:

1. Найти область определения;

2. Найти

3. Найти критические точки, т.е. значения аргумента, при которых производная или не существует;

4. Критическими точками разбить область определения на интервалы знакопостоянства и установить знак производной в каждом интервале;

5. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), то в этой критической точке максимум, если меняет знак с (-) на (+), то в этой критической точке минимум. Если не изменяет знак, то данная критическая точка не является экстремальной.

Для наших примеров:

а)

Следуя алгоритму получаем:

2. при любом . Дальнейшее исследование нецелесообразно, т.к. функция является монотонно возрастающей на всей области определения R.

б)

Следуя алгоритму получаем:

;

4. + 1 5 +

5. В критической точке находится максимум функции, а в критической точке – минимум функции.

19. Вычислить неопределенные интегралы:

а)

б)

в)

г)

д)

РЕШЕНИЕ

а) Это табличный интеграл и находится он по следующей формуле:

Тогда для нашего случая имеем:

б)

в)

г)

д)

20. Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить определенные интегралы:

а)

б)

в)

РЕШЕНИЕ

Формула Ньютона – Лейбница имеет вид:

где

В нашем случае получаем:

21. Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

а)

б)

в)

РЕШЕНИЕ

Частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находятся по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом другая переменная, соответственно или считается постоянной величиной).