Разрывы функции

Функция f(x) имеет разрыв в точке а, если она определена слева, и справа от точки а, но в точке а не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Различают два основных вида разрыва:

1. Разрывы I рода – а) оба односторонних предела существуют и конечны, но не равны между собой, то есть ≠ . Такой разрыв называется скачком; б) оба односторонних предела существуют, конечны, равны между собой, но не равны значению функции в точке а, то есть = ≠ f(x). Этот предел называется устранимым.

2. Разрыв II рода – хотя бы один из односторонних пределов равен ±∞.

_______________

4.2.1. Найти пределы следующих функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 7; б) 1; в) 1; г) 1.

4.2.2. Раскрыть неопределенность и вычислить пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

Ответ: а) -6; б) 1; в) 1/2; г) ; д) 2; е) -1/2.

4.2.3. Раскрыть неопределенность и найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а) 1/2; б) -5; в) 0; г) ∞; д) Ö3.

4.2.4. Раскрыть неопределенности ∞-∞ и 0∞:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а) 1,5; б) 0,5; в) 0; г) -2.

4.2.5. Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) .

Ответ: а) 4; б) 2; в) ; г) 1; д) -1/2; е) 2,25; ж) 1; з) -8.

4.2.6. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; ж) .

Ответ: а) е ^-5; б) е ^-1/3; в) е ⁴; г) е ²; д) е ^-2; ж) е ³.

4.2.7. Найти точки разрыва и построить графики функции:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а)II; б) II; в) II; г) I.

4.2.8. Подобрать значения a таким образом, чтобы функции были бы непрерывными:

а) ; б) .

Ответ: а) a=1; б) не сущ. такого a.

_________________

4.2.9. Найти пределы следующих функций:

а) ; б) .

Ответ: а) 6; б) 0.

4.2.10. Раскрыть неопределенность :

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а) 2/5; б) 4/3; в) 1/20; г) 1,6.

4.2.11. Раскрыть неопределенность :

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а) -1/4; б) 2; в) ∞; г) 1/2.

4.2.12. Раскрыть неопределенности ∞-∞ и 0∞:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а)0; б)0; в)0; г)0.

4.2.13. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 1/3; б) 8; в) -Ö2; г) 2/5.

4.2.14. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) е ⁶; б) е ^-3/2; в) 1/ е ²; г) е.

4.2.15. Найти точки разрыва и построить графики функций:

а) ; б) ; в) ;

г) .

Ответ: а) II; б) I - устранимый; в) II; г) I – рода.

4.2.16. Найти a таким образом, чтобы следующие функции были непрерывными:

а) ; б) .

Ответ: а) a=2; б) a=16/π.