Дисперсия(Variance) — — это средний квадрат отклонений всех значений признака от среднего арифметического. Имеет размерность значения признака в квадрате. Находится по следующим формулам:
А) при небольшом количестве испытуемых
, где
D — дисперсия
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
i — номер испытуемого в выборке
N — число испытуемых или объем выборки
Б) для простого вариационного ряда (для каждого значения признака указана частота его появления в данной выборке)
, где
D — дисперсия
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
m — число значений признака, встретившихся в данной выборке
i — номер значения признака по порядку
fi — абсолютная частота каждого i-того значения признака x
N — число испытуемых или объем выборки
В) для сгруппированного распределения находится приближенное значение дисперсии по следующей формуле
, где
D — дисперсия
xср i — среднее значение каждого i-того интервала
— среднее арифметическое
k — число интервалов в сгруппированном ряду
i — номер интервала по порядку
fi — абсолютная частота каждого i-того интервала
N — число испытуемых или объем выборки
Алгоритм вычисления дисперсии в сгруппированном распределении:
1. Для каждого интервала вычисляем его центральное отклонение по формуле xсрi –
2. Каждое центральное отклонение возводится в квадрат: (xсрi – )2
3. Находим произведение квадрата центрального отклонения каждого интервала и абсолютной частоты этого интервала (xсрi – )2· fi
4. Находим сумму этих произведений ∑(xсрi – )2· fi
5. Вычисляем среднее арифметическое значение как частное от деления ∑(xсрi – )2· fi на N.
6. Находим дисперсию как частное отделения этой суммы на (N–1).
Для расчетов удобно выполнять каждое действие в отдельном столбце следующей таблицы:
Таблица 8
№ п/п | Xi (начало и конец интервалов) | fi | Fi | Xср i | ||||
S=N | S=…… | S=……… |
Стандартное отклонение(или среднеквадратическое отклонение) (Std. deviation) — — это среднее отклонение каждого значения признака от среднего арифметического. Имеет ту же размерность, что и сам признак. Находится по формуле: , где D — дисперсия
Или, если в эту формулу подставить формулу дисперсии, то по следующим формулам:
А) при небольшом количестве испытуемых
, где
s — стандартное отклонение
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
i — номер испытуемого в выборке
N — число испытуемых или объем выборки
Б) для простого вариационного ряда (для каждого значения признака указана частота его появления в данной выборке)
, где
s — стандартное отклонение
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
m — число значений признака, встретившихся в данной выборке
i — номер значения признака по порядку
fi — абсолютная частота каждого i-того значения признака x
N — число испытуемых или объем выборки
В) для сгруппированного распределения находится приближенное значение дисперсии по следующей формуле
, где
s — стандартное отклонение
xср i — среднее значение каждого i-того интервала
— среднее арифметическое
k — число интервалов в сгруппированном ряду
i — номер интервала по порядку
fi — абсолютная частота каждого i-того интервала
N — число испытуемых или объем выборки
Коэффициент асимметрии(Skewness) — As — параметр, характеризующий асимметричность распределения по сравнению с нормальным распределением. У симметричного распределения As=0.
При левосторонней асимметрии график сдвигается ближе к оси ординат, т. е. чаще встречаются более низкие значения признака. Коэффициент асимметрии в этом случае бывает положительным.
При правосторонней асимметрии график отодвигается от оси ординат, т. е. чаще встречаются более высокие значения признака. Коэффициент асимметрии в этом случае меньше нуля, отрицательный.
Рис.12. Распределения частот с разными значениями асимметрии
Коэффициент асимметрии находится по следующей формуле:
, где
As— коэффициент асимметрии
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
N — число испытуемых или объем выборки
s — стандартное отклонение
Коэффициент эксцесса(Kurtosis) — Ex — параметр, характеризующий выпуклость распределения по сравнению с нормальным распределением. В распределениях с нормальной выпуклостью Ex=0.
В тех случаях, когда в выборке встречается много средних или близких к средним значений, распределение имеет вид островершинной кривой. Коэффициент эксцесса в этом случае положительный, т. е. больше нуля.
Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение имеет вид низкой, плосковершинной кривой, или иногда низкой кривой с двумя вершинами. Коэффициент эксцесса — отрицательный.
Рис.13. Распределения частот с разными значениями эксцесса
Коэффициент эксцесса находится по следующей формуле
, где
Ex— коэффициент эксцесса
xi — i-тое значение признака x
— среднее арифметическое
N — число испытуемых или объем выборки
s — стандартное отклонение
Коэффициент вариацииили коэффициент вариативности— V — параметр, показывающий соотношение стандартного отклонения и среднего арифметического. Применяется для сравнения изменчивости распределений признаков, имеющих разную размерность, то есть сам коэффициент вариации является безразмерной мерой рассеивания.
Находится по формуле:
, где
V — коэффициент вариации
s — стандартное отклонение
— среднее арифметическое
Коэффициент вариации позволяет сравнивать изменчивость признаков, измеренных по разным шкалам, а также оценивать однородность выборки (для однородных выборок он должен быть не более 30%).