Примеры решения задач К 3.3, К 3.4

Пример 1

Для напряженного состояния, изображенного на рис. 14, требуется найти:

а) главные напряжения и их направления;

б) максимальные касательные напряжения;

Рис. 14

в) эквивалентные напряжения по III и IV теории прочности;

г) главные деформации.

Исходные данные: Е = 2×10⁵ МПа, m = 0,3, s_х = 100 МПа, s_у = = 50 МПа, t_ху = 30 МПа.

Решение

Определяем главные напряжения и их направления.

Учитывая, что s₁ ³ s₂ ³ s₃, получим s₁ = 25 + 80,8 = 105,8 МПа, s₂ = 0, s₃ = 25 – 80,8 = –55,8 МПа.

Определяем направление главных напряжений

Под углом a₀ по отношению к направлению s_х будет направлено s₁, s₃ направлено перпендикулярно s₁. Изображаем главные напряжения на схеме напряженного состояния (рис. 15).

Рис. 15

Определяем максимальные касательные напряжения

МПа.

Определяем эквивалентные напряжения:

- по третьей теории прочности

МПа;

- по четвертой теории прочности

Определяем главные деформации:

Примечание. В формулы для определения главных деформаций значения Е, s₁, s₃ можно подставлять в МПа.

Пример 2

Рис. 16

Для круглого вала постоянного поперечного сечения (рис. 16), вращающегося с угловой скоростью w и передающего мощность N со шкива D ₁ на шкив D ₂, требуется определить:

Рис. 16

а) необходимый диаметр вала по третьей и четвертой теории прочности;

б) перемещение оси вала в месте расположения шкива D ₁ и направление этого перемещения.

Исходные данные: D ₁ = 500 мм, D ₂ = 250 мм, a = 0,2 мм, N = =20 кВт, w = 16 рад/с, Е = 2×10⁵ МПа.

Решение

1. Определяем крутящий момент, передаваемый валом:

= 1,25 кНм.

2. Определяем силы Р ₁ и Р ₂

Н = 5 кН;

Н = 10 кН.

Согласуем значения сил Р ₁ и Р ₂

Р ₁ = Р, тогда

3. Изображаем расчетную схему вала (рис. 17а).

Строим эпюры М_х, М_у, М_к.

Примечание. Эпюры строят по тому же алгоритму, что и в предыдущих задачах. Студент должен подробно расписать все действия по построению эпюр. Здесь же мы покажем лишь, как нужно определять реакции.

, отсюда

, отсюда

Проверка:

Реакции Y определены правильно.

, отсюда

а)

б)

в)

ж)

д)

г)

е)

Рис. 17

, отсюда

Проверка:

Реакции Х определены правильно.

, отсюда z_А = 0.

Значения найденных реакций указываем на расчетной схеме (рис. 17а).

Эпюра М_к изображена на рис. 17б, эпюры М_х и М_у на рис. 17в.

5. Определяем наиболее опасное сечение.

Из анализа построенных эпюр следует, что опасными будут сечения С и D.

Определяем результирующий изгибающий момент в этих сечениях.

Сечение С

Сечение D

Отсюда следует, что наиболее опасным будет сечение D.

Определяем необходимый диаметр вала исходя из условия прочности сечения D.

Выразим предварительно численное значение М_рез.

М_рез =1,52 Ра = 1,52×5×0,2 = 1,52 кНм.

По третьей теории прочности

По четвертой теории прочности

7. Определяем перемещение сечения С и его направление.

Первоначально определяем перемещения точки С по оси Х (f_х) и оси Y (f_у). Вспомогательное состояние для определения f_х дано на рис. 17г, единичная эпюра на рис. 17д. Вспомогательное состояние для определения f_у дано на рис. 17е, единичная эпюра на рис. 17ж.

Порядок определения перемещений изложен в п.п. 3.2.1.

Для круглого вала . В качестве расчетного примем

d = 62,6 мм, тогда .

Тогда

м.

Определяем направление

, a =33,8° или a =123,8°.

Здесь f_x и f_y взяты со знаком «минус», так как они направлены в противоположную сторону по сравнению с положительным направлением осей х и у (направление f_x и f_y совпадает с направлением единичных сил на рис. 17е и рис. 17г, так как f_x и f_y из расчета получены со знаком «плюс»). Тогда и f, которое является геометрической суммой f_x и f_y, направлено под углом 123,8° по отношению к положительному направлению оси х.