Задачу решаем с помощью составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.
При проверке эпюр используем дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом:
1. Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки
2. Производная изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе
Рассмотрим участок 1, сечение 1. Поперечная сила Q1 = - F1 = —15 кН.
По принятому правилу знаков поперечная сила отрицательна и постоянна на этом участке.
Изгибающий момент MXl = — F1 z1.
0 ≤ z1 ≤ 4м: МА = 0; МВ = -15*4 = - 60кН*м.
Рассмотрим участок 2, сечение 2. Поперечная сила
Q2 = — F1 — q(z2 — 4).
4м ≤ z2 ≤ 8м:
QB = - F1 = -15кН;
Поперечная сила изменяется по линейному закону.
Изгибающий момент
:
4м ≤ z2 ≤ 8м:
при z2 = 4м изгибающий момент МВ = — 60кН • м. В точке В нет внешнего момента, поэтому изгибающий момент слева и справа от точки В одинаков. В этом случае рассчитывать его дважды не следует;
Рассмотрим участок 3, сечение 3.
В точке С приложена внешняя сила F 2. На эпюре должен быть скачок, равный приложенной силе; на эпюре моментов должен быть излом.
Поперечная сила на участке 3: Q3 = —F1 — q(z3 — 4) — F2;
при z3 = 10 м QD = -15 – 6*6 - 10 = - 61 кH.
Поперечная сила изменяется по линейному закону.
Изгибающий момент.
8 м ≤ z2 ≤ 10 м:
при z3 = 10 м
На участках 2 и 3 эпюра изгибающих моментов ограничена квадратичной параболой.
По полученным результатам, учитывая дифференциальные зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом, строим эпюры Q и Мх. На втором и третьем участках поперечная сила не имеет нулевых значений, поэтому на эпюре моментов нет экстремумов.
Основные правила построения эпюр в случае приложения распределенной нагрузки. Контроль правильности решений.
1. Для участка балки с равномерно распределенной нагрузкой поперечная сила Q изменяется по линейному закону, эпюра ограничена наклонной прямой. Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону, эпюра Мх ограничена параболой второго порядка.
2. В сечении, где эпюра Q переходит через ноль (наклонная линия пересекает ось абсцисс), изгибающий момент экстремален: касательная к эпюре Мх в этом месте параллельна оси абсцисс.
3. Параболическая и прямолинейная части эпюры моментов там, где кончается или начинается распределенная нагрузка, сопрягаются плавно, без излома, если в соответствующем сечении к балке не приложена сосредоточенная сила.
4. Если распределенная нагрузка направлена вниз, то эпюра момента очерчена параболой, обращенной выпуклостью вверх.
5. Из теоремы Журавского следует:
— если на участке Q > О, Ми растет;
— если на участке Q < О, Ми убывает;
— если на участке Q = 0, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб);
— если в точке Q = 0, изгибающий момент достигает экстремального значения (Ми miп или Ми мах).
Пример 2. Расчет двухопорной балки. Двухопорная балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой (рис. 31.2).