Порядок выполнения работы. 1. Для целевой функции F(x)=-12∙x+2∙x2

1. Для целевой функции F(x)=-12∙x+2∙x²

1.1 Метод сканирования:

1.1.1 Записать в Mathcad заданную целевую функцию.

1.1.2 Рассчитать интервал Δх по формуле

q (количество узлов) принять равным 11.

1.1.3 Задать изменение величины переменной x (координаты узловых точек, в которых будет производиться расчет целевой функции)

1.1.4 Выполнить расчет целевой функции и определить значение x, при котором целевая функция минимальна.

Повторить расчеты, начиная от пункта 1.1.2, путем подстановки значений q – равных 15, 30 и 45. Сделать выводы об изменении значений целевой функции.

1.2 Метод дихотомий

1.2.1 Записать в Mathcad заданную целевую функцию.

1.2.2. Задать значения границ интервала неопределенности a0 и b0 и приращения ε.

1.2.3. Рассчитать координаты правой z0 и левой y0 точек

1.2.4 Рассчитать значения целевой функции в левой и правой точках

1.2.5 Сравнить значения целевой функции между собой. Если значение целевой функции в правой точке z0 меньше, чем в левой, тогда интервала неопределенности сужается до значений a1=0 и b1=z0.

1.2.6 Рассчитать координаты правой z1 и левой y1 точек

1.2.7 Рассчитать значения целевой функции в левой и правой точках

1.2.8 Сравнить значения целевой функции между собой. Если значение целевой функции в правой точке z1 меньше, чем в левой, тогда интервала неопределенности сужается до значений a2=z0 и b2=z1.

1.2.9 Далее снова повторяем пункты 1.2.3.–1.2.5, однако с другими начальными данными. Итерации продолжить до тех пор, пока интервал неопределенности не станет меньше ε. Тогда можно зафиксировать значение x при котором достигается минимальное значение целевой функции.

1.3 Сравнить результаты полученные по методам сканирования и дихотомий.

2 Для целевой функции F(x)=x₁∙x₂+x₁²+2∙x₂²

2.1 Метод покоординатного спуска:

2.1.1 Задать координаты начальной точки

2.1.2 Записать исходное уравнение и выполнить расчет целевой функции в точке 0

2.1.3 Задать шаг изменения величины x10 равный 0,2.

2.1.4 Рассчитать координаты точки 1

2.1.5 Рассчитать значение целевой функции в точке 1

2.1.6 Сравнить значения целевой функции в точках 0 и 1. Если значение целевой функции в точке 0 меньше, тогда следует зафиксировать значение x10=2 и сделать шаг в направлении изменения переменной x2, задавая приращение равное 0,2

2.1.7 Провести расчет целевой функции в точке 2 и сравнить ее со значением целевой функции в точке 0

2.1.8 Если шаг оказался неудачным, тогда следует задать приращение для переменной x10, при фиксированном значении x20 равное -0,2.

2.1.9 Движение в факторном пространстве следует проводить до тех пор, пока шаги, которые будут выполняться в любом направлении окажутся неудачными. Тогда следует зафиксировать полученное значение целевой функции в последней удачной точки и соответствующие ей значения переменных x1 и x2.

2.2 Градиентный метод:

2.2.1 Задать координаты начальной точки x10=2 и x20=2

2.2.2 Провести расчет целевой функции в этой точки

2.2.3 Определить направление градиента путем вычисления частных производных по соответствующим переменным

2.2.4 Рассчитываем значения частных производных в начальной точке, подставляя в выражения для частных производных взамен x1 и x2 величины x10 и x20

2.2.5 Для поиска минимума целевой функции необходимо уменьшать значения x1 и x2 в соотношении

2.2.6 Принять изменение Δx2 на первом шаге равным 0,5, тогда Δx1 будет изменться как

2.2.7 Определяем координаты первой точки в направлении градиента путем вычитания значения шага от исходных значений переменных

2.2.8 Рассчитываем целевую функцию для первой точки.

2.2.9 Таким же образом, путем вычитания величин Δx2 и Δx1 выполняем еще пять шагов и на каждом производим расчет целевой функции.

2.2.10 Сравниваем полученные значения целевой функции. Согласно полученным данным на последнем шаге значение целевой функции будет возрастать. Это указывает, что в пятой точке необходимо находить новое направление градиента, подставляя в приведенные ниже выражения взамен x1 и x2, координаты пятой точки x15 и x25

2.2.11 Определяем соотношение

2.2.12 Задаем величину шага исходя из полученного соотношения

2.2.13 Рассчитываем координаты шестой точки

и определяем значение целевой функции в ней.

2.2.14 Аналогично выполняем еще три шага. На девятом шаге целевая функция снова возрастает, поэтому возвращаемся в восьмую точку и снова выполняем расчет направления градиента и целевой функции согласно ранее представленной методике, сделав еще четыре шага.

Из полученных результатов выбираем минимальное значение целевой функции и соответствующие ему x1 и x2.

2.2.15 Сделать вывод на основании полученных результатов при нахождении оптимальных значений переменных соответствующих минимуму целевой функции.