Краткая теория. Методические указания к выполнению лабораторной

1 2 3 4 5 6

Методические указания к выполнению лабораторной

Работы № 18 по электричеству

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

УФА - 2012

Печатается по решению кафедры общей физики

от 3 июня 2012г., протокол №7

Составители:

д. ф.-м. н. Альмухаметов Р.Ф.,

к. ф.-м. н. Гафуров И.Г.

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение электрических колебаний в последовательном и параллельном контурах в области резонанса.

Приборы и принадлежности: генератор стандартных сигналов, цифровой вольтметр, частотомер, стенд для сборки исследуемого колебательного контура.

Краткая теория

Среди всевозможных электрических явлений особое место занимают гармонические колебания, при которых заряд, ток и напряжение изменяются периодически.

Простейшей системой, в которой наблюдаются гармонические колебания, является колебательный контур. Колебательный контурпредставляет собойцепь, состоящую из последовательносоединенных катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R (рис.1). Согласно второму правилу Кирхгофа для контура, содержащего L, C и R

, (1)

где IR – напряжение на резисторе, - напряжение на конденсаторе, - э.д.с. самоиндукции, равная . Следовательно

. (2)

Разделив уравнение (2) на L и, учитывая, что и , получим дифференциальное уравнение для колебаний заряда q в контуре:

. (3)

В рассматриваемом случае к колебательному контуру внешние источники тока не подключены. Поэтому колебания электрического

заряда являются свободными колебаниями.

Если сопротивление R=0, то

(4)

Выражение (4) представляет собой дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда q в контуре. Любая система (механическая, электрическая или другая), свободные колебания которой описываются уравнением типа (), называется гармоническим осциллятором. Решение этого уравнения имеет вид:

, (5) где - амплитуда колебаний заряда конденсатора, - циклическая или собственная частота контура. Период колебаний

заряда (формула Томсона).

Величина тока в колебательном контуре

, (6)

где - амплитуда тока.

Напряжение на конденсаторе

, (7)

где - амплитуда напряжения.

Из выражений (6,7) видно, что колебания тока I в цепи опережают по фазе колебания заряда q на конденсаторе на . Когда ток в цепи достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение) обращается в нуль и наоборот. Свободные электромагнитные колебания в контуре являются незатухающими.

Колебания в реальном колебательном контуре всегда являются затухающими из-за тепловых потерь энергии на активном сопротивлении катушки и соединительных проводов. Для получения незатухающих колебаний необходимо извне подводить энергию для компенсации этих потерь. Такие колебания, которые совершаются под действием внешней вынуждающей силы, называются вынужденными. Для осуществления вынужденных колебаний в колебательный контур включают источник напряжения, э.д.с. которого изменяется по гармоническому закону, например, по закону косинуса:

, (8)

где ω – циклическая частота э.д.с., включенного в контур источника тока.

Уравнение колебаний для такого колебательного контура можно получить, проводя аналогичные рассуждения, что и в случае затухающих колебаний:

, (9)

где величина ε описывается формулой (8). Левая часть формулы (9) состоит из суммы падений напряжений на отдельных элементах контура в каждый момент времени (так называемые мгновенные значения падений напряжений). Тогда выражение (9) можно переписать в виде

Здесь

,

,

.

Разделив обе части уравнения на L, получим

. (10)

Решение уравнения (10) будем искать в комплексной форме. Для этого заменим правую часть уравнения (10) на комплексную величину:

. (11)

Частное решение уравнения (11) ищем в виде . Тогда . Подставляя в уравнение (11) имеем

. (12)

Это частное решение описывает вынужденные колебания осциллятора. Они происходят с частотой внешней возбуждающей силы ω. Добавив к частному решению (12) общее решение соответствующего однородного уравнения, получим

. (13)

Добавленное слагаемое описывает свободные колебания осциллятора. Выбором произвольных постоянных С₁ и С₂ можно удовлетворить любым начальным условиям. Однако, каковы бы ни были эти условия, свободные колебания всегда экспоненциально затухают. За время амплитуда свободных колебаний убывает в е раз. В уравнении (12) должна быть оставлена только вещественная часть, для нахождения которой введем обозначение

, (14),

где - вещественные параметры. Тогда или в вещественной форме

. (15)

Величины находим, приравнивая вещественные и мнимые части в соотношении (14):

, , откуда

, (16)

. (17)

Таким образом, вынужденные колебания являются гармоническими. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний определяются формулами(16, 17).

Кривая, изображающая зависимость амплитуды вынужденных колебаний а от частоты внешней возбуждающей силы ω, называется резонансной кривой (рис. 2). Если амплитуда внешней э.д.с. остается неизменной, а меняется только ее частота ω, то при получаем статическое отклонение . При возрастании частоты ω амплитуда колебаний а сначала возрастает, затем проходит через максимум и асимптотически стремится к нулю.

Резонансная кривая характеризуется значением амплитуды в максимуме а_max и шириной резонансной кривой . ω₁ и ω₂ – значения частот, при которых амплитуда колебаний вдвое меньше амплитуды в максимуме. Если

, , (18)

то приближенно имеем:

. (19)

Q называется добротностью колебательного контура

, (20)

- логарифмический декремент. Чем выше добротность контура, тем уже резонансная кривая.

Таким образом, воздействие внешней периодически изменяющейся э.д.с. на колебательную систему приводит к возбуждению в контуре двух видов колебаний:

1) вынужденных колебаний, которые всегда происходят с частотой внешней возбуждающей силы ω. Эти колебания будут гармоническими, их амплитуда зависит только от параметров контура, а не от начальных условий;

2) собственных колебаний, которые с течением времени затухают. Процесс затухания свободных колебаний называется установлением колебаний, а время τ, в течение которого амплитуда свободных колебаний уменьшается в е раз, называется временем затухания или временем установления. Если t >>τ, то свободные колебания практически совсем прекращаются, и остаются только вынужденные колебания, совершенно не зависящие от начальных условий. Как правило, наибольший интерес представляют именно установившиеся вынужденные колебания.

Результирующее колебание в колебательном контуре представляет собой наложение незатухающего вынужденного колебания и затухающего свободного колебания. Амплитуда колебаний в контуре в процессе установления меняется до тех пор, пока свободные колебания не прекратятся полностью. Характер установления колебаний зависит от соотношения частот собственных колебаний и вынуждающей силы ω, а также от коэффициента затухания.

Наиболее простой вид процесс установления колебаний будет иметь при совпадении частот ( = ). В этом случае свободные колебания затухают экспоненциально, поэтому амплитуда вынужденных колебаний будет нарастать также по экспоненциальному закону (рис 3а).

Если же частоты собственных и вынужденных колебаний не совпадают, то разность фаз между ними не остается постоянной. При этом амплитуда результирующих колебаний также будет изменяться (рис. 3б). Такое явление называется биением.

Характерной особенностью вынужденных колебаний является, тот факт, что амплитуда колебаний тока и напряжения на различных элементах контура зависит от частоты внешней э.д.с. При определенных условиях может возникать явление, которое называется резонансом. В зависимости от способа включения элементов контура возможны два различных резонансных режима: режим резонанса напряжений и режим резонанса токов. Если источник э.д.с. включается последовательно с элементами L, C и R, то говорят о резонансе в последовательном контуре или резонансе напряжения (рис. 4). Если источник включен параллельно колебательному контуру с L и C, то говорят о резонансе в параллельном контуре или резонансе токов (рис. 5).