Резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре

Контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора, катушки, резистора и источника переменной э.д.с., изменяющейся по закону (8), называют последовательным (рис. 4). Амплитуда тока для случая установившихся колебаний в такой цепи: (21)

Максимального значения она достигает в момент, когда разность обращается в нуль, т.е. в том случае, когдачастота ω вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательного контура ω₀.Это явление называется резонансом напряжений. Частота внешней э.д.с., при которой наблюдается резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний тока, называется резонансной ω_рез. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней э.д.с. называется резонансной кривой. Различают резонансные кривые для амплитуд тока, заряда, напряжений на различных элементах. Используя связь между амплитудным и действующим значениями синусоидального тока, перепишем (21) в виде:

(22)

Как видно из формулы, одна и та же цепь будет иметь различное сопротивление для постоянного (ω = 0) и переменного (ω ≠0) тока. Величина называется емкостными сопротивлением, а - индуктивными сопротивлением. Х_С и Х_L - называются реактивными сопротивлениями, в отличие от сопротивления R, называемого активным, которым обладает любая цепь постоянного тока. Величина, стоящая в знаменателе, называется полнымсопротивлением контура переменному току. Формулы (21) и (22) выражают закон Омадля переменного тока. Он справедлив только для амплитудных или действующих значений тока.

Соотношение между напряжениями на различных элементах контура можно получить с помощью векторной диаграммы (рис. 5).

Сдвиг фаз между током в цепи I и э.д.с. источника ε:

(23)

Нетрудно также видеть, что резонанс наступает, когда напряжения на индуктивности иемкости равны по величине.Колебания напряжения на этих элементах происходят в противофазе.Следовательно, при резонансе напряжение источника совпадает с напряжением на резисторе. Допустим, что подбором индуктивности и емкости или изменением частоты создано условие, при котором Х_L = Х_С. При этом ток в контуре определяется только активным сопротивлением и совпадает по фазе с напряжением входного сигнала, т.е. с колебаниями вынуждающей э.д.с. Его максимальная величина , а амплитуды напряжений на индуктивности и емкости:

; ;

Если одновременно увеличить оба реактивных сопротивления Х_L и Х_С, не нарушая при этом условия резонанса Х_L=Х_С, то соответственно возрастут оба напряжения U_L и U_С, а сила тока в цепи при этом не изменится. Таким путем можно получить U_L и U_С во много раз большие, чем напряжение входного сигнала (в нашем случае – ε). Отсюда становится понятным название явления – резонанс напряжений. Объясняется это тем, что напряжение источника при резонансе идет только на покрытие потерь в контуре. Напряжение на катушке и конденсаторе обусловлено накопленной в них энергией, значение которой тем больше, чем меньше потери в контуре. Обозначим через Q отношение амплитуды напряжения на индуктивности или емкости при резонансе к амплитуде вынуждающей э.д.с. (или амплитуде входного напряжения):

. (24)

Эта безразмерная величина, показывающая, во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости при резонансе превосходит входное напряжение контура, называется добротностью. Преобразуем приведенную формулу

. (25)

Из последнего выражения видно, что добротность контура связана с его параметрами. Добротность растет с увеличением индуктивности L и уменьшением сопротивления потерь R и емкости контура С. Добротность контура связана также с логарифмическим декрементом затухания соотношением:

.

Резонанс напряжений в параллельном колебательном контуре (резонанс токов)

Пусть внешняя э.д.с., включена параллельно контуру, состоящему из катушки индуктивности и конденсатора (рис.6). Внешняя э.д.с. изменяется по гармоническому закону .

Ток в неразветвленной части цепи в каждый момент времени представляется суммой токов в отдельных ветвях:

где – ток в ветви с катушкой индуктивности L, – ток в ветви с конденсатором С, I – ток в ветви с источником (в неразветвленной части). Токи и также изменяются с частотой переменной э.д.с. по закону:

и ,

где φ₁ и φ₂ – разность фаз между токами в ветвях и колебаниями внешней э.д.с.

Амплитуду I₀₁ находим из закона Ома для цепи переменного тока, положив в ней С =∞:

. (26)

Сдвиг фаз φ₁ находим из формулы (23)

, (27)

Далее, по аналогии, для второй ветви (L =0) находим

ε0

(28)

. (29)

Рассмотрим процессы, происходящие в параллельном контуре с помощью векторной диаграммы (рис 7.). Поскольку ветви включены параллельно, общим для них является напряжение (в нашем случае – внешняя э.д.с.), поэтому построение диаграммы начинают с вектора ε_о. Ток в неразветвленной цепи, как это следует из рисунка, может опережать или отставать от э.д.с. в зависимости от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений, а величины φ₁ и φ₂. увеличиваются с уменьшением активного сопротивления ветвей. В предельном случае, когда R₁®0 и R₂®0 имеем tg φ₁→+∞, φ₁→π/2, tg φ₂→ -∞, φ₁→ -π/2. Таким образом, при уменьшении активного сопротивления разность фаз токов в параллельно соединенных ветвях с индуктивностью и емкостью стремится к π. При R₁=R₂=0 колебания токов в этих ветвях происходят впротивофазе.

Резонансом в параллельном колебательном контуре называют явление, когда ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с э.д.с. источника (сравните с резонансом в

последовательном контуре). Величина тока определяется только активным сопротивлением контура. Реактивное сопротивление при резонансе обращается в нуль. Нетрудно видеть, что это возможно в том случае, когда выполняется равенство:

. (30)

Расписывая все входящие сюда величины, получим:

,

,

. (31)

Если можно пренебречь сопротивлениями и , то мы приходим к условию резонанса

, (32)

совпадающему с условием резонанса напряжений. При этом суммарный ток I равен нулю, и для поддержания в контуре колебаний не требуется никакого подвода энергии извне. Ток в контуре обусловлен обменом энергией между катушкой и конденсатором (свободные незатухающие колебания).

При наличии активного сопротивления амплитуда тока I ₀даже при условии резонанса отлична от нуля, но имеет при заданных параметрах контура наименьшее возможное значение и определяется только активным сопротивлением контура. Токи, циркулирующие в самом контуре, при этом во много раз превосходят ток в проводах, подходящих к контуру. Поэтому рассмотренное явление называется резонансом токов. Подводимая к контуру энергия расходуется на поддержание в нем незатухающих колебаний. Эта энергия тем меньше, чем меньше активное сопротивление контура.

Таким образом, контур, состоящий из параллельно подключенных индуктивности и емкости, представляет собой тем большее сопротивление для проходящего по нему переменного тока, чем ближе частота тока к резонансной.