Создание свободных поверхностей

Кривые. Для построения кривой необходимо создать опреде­ленное количество точек. Ломаная линия, соединяющая заданные точки, называется дескриптором кривой, а точки - его вершинами. Очередность создания вершин дескриптора задает направление кривой. Количество вершин в дескрипторе задает класс кривой. Порядок кривой - это количество отрезков в ее дескрипторе. Пер­вая вершина дескриптора является начальной точкой кривой, а пос­ледняя вершина - конечной точкой. Кривая должна быть касательна к первому и последнему отрезкам дескриптора в начальной и конечной точках соответственно. Положение точки на кривой за­дается параметром U. Существуют несколько типов кривых, та­кие, как кривые Безье, B-spline и эквидистанты, которые различа­ются методами построения.

Кривая Безье. На рис. 1.24 показан пример построения кривой Безье, которая формируется по дескриптору, состоящему из трех вершин. В начальной точке кривой U = 0, в конечной точке - U = 1. Для определения положения третьей точки нужно соединить сере­дины отрезков дескриптора и найти середину полученного отрез­ка. В этой точке параметр U = 0,5. Можно построить аналогичным образом еще несколько точек на различных расстояниях вдоль от­резков, пока не начнут вырисовываться очертания кривой.

На рис. 1.24 изображена кривая Безье третьего класса, второго порядка.

Кривая типа B-spline. B-spline - это непрерывная последова­тельность кривых третьего порядка. В граничных точках кривые имеют общие касательные. B-spline определяется одной линией -дескриптором.

Отрезки дескриптора делятся следующим образом:

• первый и последний отрезки не делятся;

• второй и предпоследний делятся пополам;
• промежуточные делятся на три отрезка.

Новые точки на отрезках соединяются и образовавшиеся отрез­ки делятся пополам. Середины являются точками сопряжения кри­вых Безье, а каждая кривая Безье строится описанным ранее спо­собом (рис. 1.25).

Рис. 1.25. B-spline и кривая Безье, построенные по одинаковым дескрипторам

Патчи поверхности. В программных системах верхнего уров­ня встречаются различные виды патчей. Например, в системе EUCLID3 определено несколько их видов: ограниченные патчи, патчи поверхностей вращения и эквидистантные патчи.

Ограниченный патч формируется гремя или четырьмя гранич­ными кривыми.

Патч поверхности вращения - это аналитически точный патч, поскольку для его построения используются образующая поверх­ности вращения, ось и угол поворота образующей (так же как и для модели твердого тела), а не дескриптор.

Эквидистантный патч поверхности строится по ранее создан­ному патчу на заданном расстоянии по нормалям в каждой точке. Эквидистантный патч не имеет своего дескриптора.

Положение точки на поверхности патча описывается парамет­рами U и V. Координаты той же точки в декартовой системе коор­динат являются функциями этих параметров, т.е. X(U,V), Y(U,V) и Z(U,V). Когда значение одного из параметров (U или V) постоян­но, а значение другого изменяется от 0 до 1, точка лежит на изо-параметрической кривой (см. рис. 1.26).

Патч поверхности Безье. Геометрическое место точек, принад­лежащих кривой Безье в процессе ее перемещения вдоль другой кривой Безье, называется патчем поверхности Безье. Совокуп­ность дескрипторов кривых Безье называется дескриптором патча Безье. Каждая точка на патче поверхности Безье совпадает с точ­кой пересечения изопараметрических кривых с заданными значе­ниями параметров U и V. На рис. 1.26 изображена точка А с декар­товыми координатами X = 10,987, Y = 0,621 и Z = 95,079, соответ­ствующими параметрическим координатам U = 0,3 и V = 0,7.

U =o

V=l

Рис. 1.26. Изопараметрические кривые на патче

Патчи NURBS поверхности. Патчи NURBS (Non Uniform Rational B-spline) имеют ту же структуру, что и патчи поверхности вращения, а отображаются, как патчи Безье. Патчи NURBS повер­хностей могут иметь элементы - патчи Безье порядка больше 9 и патчи B-spline.

Топология. В поверхностном моделировании модифицируется только структура связности патчей поверхности. Патчи поверхно­сти могут как объединяться в одну поверхность, так и разбиваться на части. Из поверхности можно удалить часть ее патчей. В про­цессе модификации поверхности могут быть разрезаны, разбиты, сглажены, сопряжены.