Канал без обратной связи

Защита информации от ошибок происходит за счет внесения избыточности в передаваемые кадры. Кадры можно рассматривать как кодовые комбинации корректирующего циклического кода. В лабораторной работе используются следующие генераторные многочлены циклических кодов:

g0 = 1

g1 = 1+x

g2 = 1+x+x⁶

g3 = 1+x²+x⁶+x⁷

g4 = 1+x³+x⁴+x⁵+x⁸+x¹⁰+x¹²

g5 = 1+x+x³+x⁶+x⁸+x⁹+x¹⁰+x¹¹+x¹²+x¹³

g6 = 1+x+x²+x³+x⁶+x⁷+x⁹+x¹⁵+x¹⁶+x¹⁷+x¹⁸

Примечание.

Одночлен g0 формирует код без избыточности, который не

Обеспечивает защиту от ошибок.

Число бит n в кадре (размер кадра) всегда равно 63. Количество информационных (k) и контрольных (n-k) разрядов зависит от генераторного многочлена циклического кода. В таблице 1 представлены параметры, циклических кодов полученных с помощью перечисленных выше генераторных многочленов.

Таблица 1

Номер многочлена
Минимальное кодовое расстояние, d
Число информационных разрядов k
Число контрольных разрядов n-k

Количество исправляемых и обнаруживаемых ошибок в кадре зависит от главного параметра кода - минимального кодового расстояния d. Этот параметр определяет гарантированное различие между любыми двумя комбинациями, измеряемое числом несовпадающих двоичных разрядов. Чем больше параметр d, тем больше ошибок код может исправить или обнаружить. Однако увеличение кодового расстояния потребует и увеличения избыточности, что уменьшит долю полезной информации в кадре.

Принимающая сторона проверяет кадр на соответствие правилу кодирования. Для этого производится деление кадра на генераторный многочлен, который был использован при формировании кадра на передающей стороне.

Признаком наличия ошибок в кадре является ненулевой остаток. Возможны крайне редкие ситуации, когда при наличии ошибок остаток равен нулю. Такие ситуации возникают, если размещение ошибок в кадре совпадает по структуре с некоторым кадром, входящим в множество передаваемых кадров.

Принимающая сторона может работать в одном из следующих режимов декодирования:

· обнаружения ошибок;

· обнаружения и исправления ошибок;

· исправления ошибок.

Для количественной оценки надежности передачи кадров в канале без обратной связи необходимо уметь вычислять вероятности состояний кадра на принимающей стороне с учетом используемого кода и режима декодирования. Принятый кадр может иметь одно из трех возможных состояний:

1. правильный прием, когда в кадре нет ошибок или число ошибок находится в пределах способности кода исправить их;

2. ошибочный прием, если при наличии ошибок в кадре принимающая сторона не может их обнаружить;

3. стертое состояние кадра, когда ошибки обнаружены, но принимающая сторона не пытается их исправить.

Режим обнаружения ошибок

В этом режиме кодовое расстояние d и максимальное число ошибок t, гарантированно обнаруживаемых на принимающей стороне, связаны зависимостью: t = d - 1 (1)

Вероятность правильного приема кадра Q вычисляется по формуле:

Q = (1 - p)ⁿ, (2)

где р - вероятность ошибочного приема одного бита,

n - число разрядов в кадре.

Вероятность ошибочного приема кадра Po можно оценить с помощью приближенной формулы:

(3)

где t - максимальное число обнаруживаемых ошибок.

Формула (3) оценивает вероятность появления ошибок, совпадающих по структуре с комбинациями циклического кода. В таких случаях остаток от деления на генераторный многочлен равен нулю, и ошибки не будут обнаружены.

Вероятность стирания кадра Рs вычисляется по формуле:

Рs = 1 – Q - Po (4)

В таблице 2 приведены параметры исследуемых кодов для режима обнаружения ошибок.

Таблица 2

Номер многочлена
Кодовое расстояние
Количество обнаруживаемых ошибок			1,2	1,2,3	1,2,3,4	1,2,3, 4,5	1,2,3, 4,5,6

Следует отметить, что код способен обнаружить больше t ошибок в кадре.Но это возможно лишь для тех вариантов ошибок, для которых остаток от деления принятого кадра на генераторный многочлен не равен нулю.

Режим обнаружения и исправления ошибок

После деления принятого кадра на генераторный многочлен принимающая сторона анализирует остаток от деления. Если остаток соответствует одиночной ошибке (или для некоторых кодов - двойной), то ошибка (ошибки) исправляется. При других вариантах остатка происходит стирание кадра (ошибки только обнаруживаются).

Максимальные числа гарантированно исправляемых и обнаруживаемых ошибок связаны с кодовым расстоянием зависимостью:

s + t = d - 1, (5)

где s - число исправляемых ошибок,

t - число обнаруживаемых ошибок.

Формула (5) справедлива, если выполняется условие: t>s.

В таблице 3 приведены параметры исследуемых кодов в режиме исправления и обнаружения.

Таблица 3

Номер многочлена
Число исправляемых ошибок						1,2	1,2
Число обнаруживаемых ошибок					2,3		3,4

Например, код, полученный с помощью четвертого многочлена, исправляет одиночную ошибку в кадре, а две или три ошибки будут обнаружены но не исправлены.

Следует отметить, что могут быть обнаружены также ошибки, число которых превышает значение параметра t, так как любое искажение кадра в канале, вызывающее нарушение правила кодирования, всегда будет обнаружено по наличию ненулевого остатка от деления на генераторный многочлен. Многочлены 0,1,2 не позволяют реализовать режим обнаружения и исправления ошибок.

Вероятность правильного приема кадра:

(6)

где s - максимальное число исправляемых ошибок,

Вероятность ошибочного приема кадра:

(7)

Вероятность стирания кадра:

Рs = 1 – Q - Po (8)

Режим исправления ошибок

В таблице 4 приведены параметры исследуемых кодов в режиме исправления ошибок. Максимальное число исправляемых ошибок определяется как целое из выражения:

s = int((d – 1)/2) (9)

Таблица 4

Номер многочлена
Число исправляемых ошибок					1,2	1,2	1,2,3

Вероятность правильного приема кадра вычисляется как сумма вероятностей появления не более s ошибок:

, (10)

где s - максимальное количество исправляемых ошибок.

Вероятность ошибочного приема кадра:

Po = 1 – Q (11)

В режиме исправления ошибок принимающая сторона использует остаток от деления для определения места ошибки (ошибок). Ошибки будут исправлены, если существует однозначное соответствие между остатком и расположением ошибок в кадре.

В действительности такое не всегда выполняется, т.к. число различных остатков обычно меньше числа вариантов ошибок в кадре. Один и тот же остаток может быть как от одиночной ошибки, так и от нескольких ошибок в кадре. Решение об исправлении принимается обычно в пользу варианта одиночной ошибки.

При таком правиле принятия решения возникают ситуации, когда происходит не исправление, а размножение ошибок. Кадр будет принят правильно, если число ошибок в нем не превышает максимального значения s. В других случаях кадр будет принят с размноженными ошибками.

Состояние стирания кадра в данном режиме отсутствует!