В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое (ур) значение как точечный прогноз уi при xp = xi, т. е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у*)
.
Подставим в уравнение регрессии выражение параметра
.
Тогда уравнение регрессии примет вид:
.
Отсюда вытекает, что стандартная ошибка зависит от ошибки Н среднего и ошибки коэффициента регрессии b.
После преобразований получим следующее выражение для расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения:
.
Данная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении х характеризует ошибку положения линии регрессии. Как видно из формулы, величина стандартной ошибки достигает минимума при и возрастает по мере того, как удаляется от среднего в любом направлении. Иными словами, можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если x находится в центре области наблюдения. Если же значение x находится за пределами наблюдаемых значений, то результаты прогноза ухудшаются.
|
|
На графике доверительные границы для ух представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.
Рис. 8.2 показывает, как изменяются пределы в зависимости от изменения xk:две гиперболы по обе стороны от линии регрессии определяют 95%-ные доверительные интервалы для среднего значения у при заданном значении х.
Ширина интервала зависит от количества наблюдений и величины дисперсии V (x).
Рис 8.2. Доверительный интервал линии регрессии:
а – верхняя доверительная граница; б – линия регрессии;
в – доверительный интервал; г – нижняя доверительная граница