Условный закон распределения, условное математическое ожидание (функция регрессии) как оптимальный прогноз. (25)

Условный закон распределения – это распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Понятие дифференциального закона распределения распространяется на несколько случайных переменных, например на (х,у). Пусть эти 2 переменные появляются в одном опыте с элементарными исходами вида

Где q – какое-то значение случайной переменной х, а r – какое-то значение случайной переменной у. Символом Р_х,у(q,r) обозначим дифференциальный закон распределения пары (х,у). Так, если х и у – дискретные случайные переменные, то Р_х,у(q,r)=P(x=q,y=r)

Поясним на примере.

Опыт заключается в бросании правильной игральной кости; пусть х – количество очков, выпадающее на верхней грани, у – количество очков, выпадающее на нижней грани. Возможные значения х обозначим i=1,2…,6; возможные значения у обозначим j=1,2,...,6. Рассматривая кость, можно убедиться, что справедливо равенство х+у=7.

По этой причине дифференциальный закон распределения пары (х,у) имеет вид:

Закон распределения пары Px,y(q,r) и формула условной вероятности события p(В/А)=N_AB/N_A служат основой понятия условного закона распределения случайной переменной.

Функцией регрессии у на х – эта функция обозначается символом Е(у/х) – называется ожидаемое значение случайной переменной у, вычисленное при заданном значении переменной х, т.е.

Величина Е(у/х) является функцией аргумента х. Эта функция позволяет представить случайную переменную у в виде у=Е(у/х)+u, где u – случайная переменная (остаток), такая, что Е(u/x)=0.

Разложение случайной переменной у с таким свойством именуется регрессионным анализом переменной у. Функция регрессии Е(у/х) интерпретируется в эконометрике как выраженный математическим языком экономический закон, по которому изменяется объясняемая (эндогенная) переменная у в ответ на изменения объясняющей (экзогенной) переменной х. В силу свойства дисперсии средний квадрат разброса значений переменной у вокруг величины Е(у/х) оказывается минимальным, при каждом значении переменной х:

Е(у-Е(у / х)² / х)=minЕ((у-f(x))² / x)

Минимум здесь берется по всем возможным функциям f(x). В силу данного свойства функция регрессии Е(у/х) является оптимальным алгоритмом прогнозирования значений переменной у по значениям переменной х: