Понятие статистической гипотезы. Процедура проверки статистической гипотезы

Статистической гипотезой называется любое предположение относительно вида закона распределения случайной величины или относительно значения параметров.

Например, гипотезой является предположение, что случайные возмещения в наблюдении имеет нормальный закон распределения, или математическое ожидание случайного возмущения в наблюдениях равно нулю.

Наряду с основной гипотезой могут быть выведены и альтернативные гипотезы.
Принято обозначать основную гипотезу Н₀
Н0: Е(u / x) = 0

Альтернативную гипотезу:
Н1: (u / x) > 0
Проверка статистической гипотезы является 1й из основных задач математической статистики.
Объективной основой проверки истинности (ложности) гипотезы может служить только ее значение, полученной в результате наблюдения.
Порядок действий при проверке статистических гипотез можно представить в виде следующего алгоритма:

Шаг1. Формулируется основная гипотеза

Шаг 2. Создается случайная переменная Z, связанная с выдвинутой гипотезой и с известным законом распределения
Закон распределения случайной переменной, которая содержится в сформулированной гипотезе, может быть известен, а следовательно, нельзя сказать о ее поведении. Поэтому создается случайная переменная, о поведении которой можно судить по ее закону распределения.

Шаг 3. Создается значение доверительной вероятности (Рдоверит)

Область определения созданной случайной переменной Z разбивается на 2е непересекающиеся подобласти:
1) область, где гипотеза H0 принимается Z(H0)

2) область, где гипотеза Н0 отклоняется Z(H1)

Следовательно, Рдоверит: Z(H0), Z(H1)

Разбиение области определения созданной случайной переменной осуществляется таким образом, чтобы оказалось справедливым следующее равенство:

P(Z(H0)принадлежит z) = Рдоверит

Вероятность попадания случайной переменной z в область Z(H0), при условии, что гипотеза H0 – истина, равна принятой доверительной вероятности, т.е. в о.о. переменной z выделяется участок, внутри которого случайное событие окажется практически достоверным, при условии, что гипотеза H0 – истина.

Граница, разделяющая о.о. случайной переменной z, называется критическим значением распределения.

Шаг 4. Проверяется появление случайного события z, принадлежащего Z(H0):
а) если событие появилось, то гипотеза Н0 принимается, как непротиворечащая опытным данным

в) если событие не появилось, то гипотеза Н0 отклоняется

Случайную переменную z называют статистикой критерия гипотезы H0

Описанный алгоритм проверки статистических гипотез допускает возникновение ошибок, т.е. неверных выводов относительно тестируемой гипотезы.
Отметим, что данная гипотеза Н0 принимается с доверительной вероятностью (Рдоверит), следовательно, остается вероятность отвергнуть данную гипотезу (α=0,05)
При проверке статистических гипотез, связанных с анализом эконометрических моделей, как правило используют 2е искусственно созданные переменные:

1) Дробь Стьюдента: t=

– стандартная ошибка отклонения оценки

– МНК оценка параметра

a – значение, на равенство которого тестируется параметр

Дробь Стьюдента в схеме Гаусса – Маркова имеет закон распределения Стьюдента с параметром n-k-1.

Критическое значение дроби Стьюдента находится из уравнения:

) = P( )=

или двусторонний квантиль распределения Стьюдента

2) дробь Фишера

Где

u & ν – две независимые случайные переменные, имеющие закон распределения с числом степени свободы соответственно n & m

n – объем выборки

m = n-κ-1

κ – количество регрессоров

Дробь Фишера, при условии, что случайные переменные u & ν распределены по нормальному закону, подчиняется закону распределения Фишера с параметрами m & n.

Критическое значение дроби Фишера – решение уравнения

Р(F_nm < F_крит) = = P_дов