Множественная и частная корреляция

В настоящее время при построении корреляционных моделей исходят из условия нормальности многомерного закона распределения генеральной совокупности. Эти условия обеспечивают линейный характер связи между изучаемыми признаками, что делает правомерным использование в качестве показателей тесноты связи парного, частного коэффициентов корреляции и коэффициента множественной корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют связи двух признаков из совокупности признаков при условии, что все связи этих признаков с другими признаками элиминированы, т.е. закреплены на условно-постоянном (среднем) уровне. Частный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между двумя переменными при фиксированном значе­нии остальных факторов

Если парный коэффициент корреляции между двумя случайными величинами оказался больше частного коэффициента между теми же случайными величинами, то это говорит о том, что третья фиксированная величина усиливает взаимосвязь между изучаемыми величинами, т.е. более высокое значение парного коэффициента обусловлено присутствием третьей величины. Более низкое значение парного коэффициента корреляции в сравнении с соответствующими частными свидетельствует об ослаблении связи между изучаемыми величинами действием фикси­руемой величины

Частный коэффициент корреляции, например r_yx1(x2), характеризует степень линейной зависимости между двумя величинами у и х₁ при исключенном влиянии третьей величины х₂, включенной в модель. Он определяется по формуле

Зависимость y от x₂ при исключении влияния x₁:

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

Частный коэффициент корреляции изменяется в пределах от —1 до +1. Если частный коэффициент корреляции равен ±1, то связь между двумя величи­нами функциональная, а равенство нулю свидетель­ствует о линейной независимости этих величин.

Если есть матрица парных коэффициентов корреляции R, то переход к матрице частных коэффициентов корреляции осуществляется на основании последовательного расчета коэффициентов частной корреляции и замены ими в матрице R коэффициентов парной корреляции с использованием формулы

, где

r_ij - коэффициент частной корреляции между i -м и j -м признаками;

А_ij - алгебраическое дополнение к элементу r_ij матрицы парных коэффициентов корреляции;

А_ii, А_jj - алгебраические дополнения к элементам матрицы парных коэффициентов корреляции r_ii и r_jj соответственно. Знак частному коэффициенту корреляции присваивается по знаку со­ответствующего коэффициента регрессии в модели связи

Частные коэффициенты корреляции как статистические величины подвергаются в анализе оценке на достоверность. С этой целью используется t-критерий Стьюдента, который определяется по формуле

Значение t- критерия сравнивают с табличным t_αλ, где α - заданный уровень значимости; λ = (n - k - 1) — число степеней свободы.

Если выполняется неравенство t _расч > t_αλ, то значение коэффициента корреляции признается значимым, т.е. нулевая гипо­теза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается и делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации. Частный коэффициент детерминации показывает долю вариации признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора. В случае двухфакторной линейной модели коэффициент мно­жественной корреляции определяется по следующей формуле.

Коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены фак­торы, влияющие на результативный признак.

Когда известна матрица парных коэффициентов корреляции R, коэффициент множественной корреляции получают, решив матричное уравнение вида

, где

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, в которой вычеркнуты строка и столбец, характеризующие связи независимых переменных х_j с зависимой переменной у.

Для проверки существенности коэффициента множественной корреляции можно использовать F-критерий, который определяется по формуле:

при k и n-k-1 степенях свободы.

Наиболее достоверные результаты в корреляционном анализе можно получить, когда число объек­тов наблюдения (n) превышает число анализируемых признаков (т) в 6—8 раз.

Текущий контроль знаний по теме:

1. В каких пределах изменяется множественный коэффициент корреляции:

а) б)

в)

2. В каких пределах изменяется множественный коэффициент детерминации?

а) б) У^х\ *2

в)

3. Частный коэффициент корреляции оценивает:

а) тесноту связи между двумя переменными;

б) тесноту связи между тремя переменными;

в) тесноту связи между двумя переменными при фиксирован­ном значении остальных факторов.

4. Какой коэффициент указывает в среднем процент изменения результативного показателя у при увеличении аргумента х на 1%:

а) коэффициент детерминации;

б) коэффициент регрессии;

в) коэффициент эластичности;

г) бета-коэффициент?

5. Множественный линейный коэффициент корреляции равен 0,75. Какой процент вариации зависимой переменной у учтен и модели и обусловлен влиянием факторов х, и х₂.

а) 56,2; 6)75,0; в) 37,5?

6. Имеются следующие данные:

коэффициент регрессии а₁ = 1,341:

среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии S_a1 = 0,277.

Определите t-критерий Стьюдента и оцените значимость коэффициента регрессии а₁, если t_та6л =2,11 при уровне значимоcти α = 0,05.

а) 0,207, коэффициент незначим;

б) 4,841, коэффициент значим;

в) 4,841, коэффициент незначим.

7. Имеется матрица парных коэффициентов корреляции (таблица 45):

Таблица 45 – Матрица парных коэффициентов корреляции.

	y	x1	x2	x3
y
x1	-0,782
x2	0,451	0,564
x3	0,842	-0,873	0,303

Между какими признаками наблюдается мультиколлинеарность:

а) у и x₃ б) x₂ и x₃; в) x₁ и x₃?

8. Какое значение может принимать множественный коэффициент корреляции:

а) 1,501; б) -0,453; в) 0,861?

9. Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Параметр а₁ = 1,37 означает следующее:

а) при увеличении х₁, на одну единицу своего измерения переменная у увеличится на 1,37 единиц своего измерения;

б) при увеличении х₁, на одну единицу своего измерения и при фиксированном значении фактора х₂, переменная у увеличится на 1,37 единиц своего измерения;

в) при увеличении х₁, на 1,37 единиц своего измерения и при фиксированном значении фактора х₂, переменная у увеличится на одну единицу своего измерения.

10. Значение бета-коэффициента определяется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .