Расчет сезонной компоненты и построение модели временного ряда

Аддитивную модель: Х=Т+S+E применяют в случае, когда амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется. В противном случае используют мультипликативную модель: Х=Т × S × E.

Введем обозначения.

Пусть имеется временной ряд – Х_ij,

где i – номер сезона (периода времени внутри года, например месяца, квартала); i=1;L (L – число сезонов в году);

j – номер года, j=1;m (m – всего лет).

Тогда количество исходных уровней ряда равно
L × m=n.

Построение модели начинается с расчета сезонной компоненты. Только потом рассчитывают трендовую компоненту.

В качестве сезонной компоненты для аддитивной модели применяют абсолютное отклонение — Sa_i, для мультипликативной модели — индекс сезонности — Is_i. Сезонные компоненты должны отвечать определенным требованиям:

• в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонент должна быть равна нулю;

• в случае мультипликативной модели произведение всех сезонных компонент должно быть равно единице.

Перед расчетом сезонных компонент ряд динамики выравнивают. Чаще всего используют механическое выравнивание (например, метод скользящей средней). В результате получают выровненный ряд: , который не содержит сезонной компоненты.

Абсолютное отклонение в 1-м сезоне определяется как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней ряда:

Индекс сезонности в i -м сезоне определяется как среднее арифметическое из отношений фактического уровня ряда к выровненному:

.

При построении трендовой компоненты модели временного ряда используют аналитическое выравнивание (см. п. 3.2). Данный метод выравнивания применяют не к фактическому ряду динамики, а к ряду, в котором исключена сезонная составляющая. Это означает, что исходные уровни ряда корректируются на величину сезонной компоненты. В случае аддитивной модели из исходных уровней вычитают Sa_i. В случае мультипликативной модели исходные уровни ряда делят на Is_i.

Рассмотрим на примере построение аддитивной модели временного ряда. Пусть имеются поквартальные данные за 3 года об объемах выпуска продукции некоторым предприятием (в тыс. шт.). Данные приведены в табл. 3.4 (строки 1, 2,3).

Таблица 3.4

Год	Квартал – i	Объем выпуска (Xtij)			–	= – – Sai	T
			531,25 575,00 615,00 680,00 730,00 775,00 815,00 880,00 955,00			477,15	416,1	348,9
(1)					401,60	474,8	473,2
			553,13	161,88	551,60	533Д	696,8
			595,00	5,00	694,66	592,1	497,40
			647,50	-62,50	652,15	650,8	583,6
(2)			705,00	-145,00	561,60	709,4	707,8
			752,50	222,50	811,60		931,5
			795,00	5,0	894,66	826,7	732,1
			847,50	-82,50	832,15	885,4	818,3
(3)			917,50	-197,50	721,60	944,1	942,5
					1071,6	1002,7	1166,1
					1194,6	1061,4	966,7

В нашем примере L = 4; m = 3; n = 12.

Для расчета сезонной компоненты проведем выравнивание уровней ряда методом скользящей средней. Период усреднения примем равным 4. Рассчитанная по 4-м уровням средняя будет относиться к середине интервала усреднения (см. табл. 3.4, строка 4). Чтобы полученные средние привести в соответствие с фактическими моментами времени, найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние – (табл. 3.4, строка 5).

Для расчета абсолютных отклонений (i = 1; L) найдем разности между исходными – и выровненными – уровнями ряда (табл. 3.4, строка 6). Для дальнейшего расчета построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонным компонентам, столбцы – годам. В теле таблицы находятся значения: – . По этим данным рассчитываются средние арифметические из абсолютных отклонений по каждой строке – ().

Если сумма всех средних оценок равна нулю , то данные величины и будут окончательными значениями сезонных компонент (). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных компонент вычитанием из средней оценки величины, равной отношению суммы средних оценок сезонных компонент к их общему числу . Для нашего примера расчет значений , представлен в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Номер компо-ненты	Год 1	Год 2	Год З	Средняя оценка сезонной компоненты	Скорректиро-ванная сезонная компонента
	– –1,67 123,33 –78,33	–66,67 –5,00 180,00 –113,33	–70,00 –1,67 183,33 –	–68,33 –2,78 162,22 –95,83	–67,15 –1,60 163,40 –94,66
Итого				–4,72

Для определения трендовой компоненты устраним сезонные колебания из уровней исходного ряда: – Sa_i. Результаты расчета для нашего примера представлены в табл. 3.4, строка 7. Далее строим уравнение регрессии для уровней – уравнение тренда: (где t^y – условная переменная времени). Расчет параметров см. в п. 3.2. Окончательно имеем: . Рассчитанные по уравнению тренда уровни ряда занесем в табл. 3.4 строка 8.

Теперь смоделируем уровни ряда в соответствии с аддитивной моделью, т. е. прибавим к вычисленное ранее значение абсолютного отклонения – . Результаты занесем в последнюю строку табл. 3.4.

Результаты моделирования представлены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Исходный ряд динамики и ряд, построенный по аддитивной модели