Аксиома непрерывности Кантора

16. Пусть элементы x ,x ,…,x ,…,y ,y ,…,y ,… удовлетворяют условию x <x <…<x <…<y <…y <y и пусть для любого положительного элемента e>0, начиная с некоторого номера n, выполняются условия y -x < e, k = n, n+1, …. Тогда существует элемент Z такой, что при всех значениях n выполняется x < Z < y .

То, что элемент Z, о котором говорится в этой аксиоме, является единственным, несложно доказать от противного.

Определение 2.

Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если они удовлетворяют всем тем же аксиомам 1-15, что и рациональные числа и, дополнительно, аксиом непрерывности Кантора.